本专题将会从三次曲线的一个纯几何定义开始，用完全纯几何的方法建立三次曲线的几何体系，包括但不限于Cayley-Bacharach定理

如图，过圆O外一点A作圆O的两条切线AB、AC，D为圆O上一点，E、F分别为线段BD、CD的中点，BD、AF交于X，CD、AE交于Y 证明：圆(DEY)与圆(DFX)的根轴过O 祝全体吧友新年快乐！

挺好的题

前一个没题号被删了，我来补一下，侵删 圆O内弦AB，CD交于E，过E的直线交弧BD，AC于F，G，交三角形AEC，BED外接圆于H，I，HA，ID，IB，HC分别交圆O于另点M，K，N，J，求证： (1)MN，KJ，GF三线共点；(2)设(1)中所共点为P，OP=OE

如图所示

UV等角共轭且UV平行于OH，V'是V反演点，垂足三角形DEF，九点圆圆心N'，证明平行

数之迷2025新春跨年题11

（我自认为）本专题属于入门难度专题，因为理论上无需任何专题作为前置知识。 （但是建议熟练使用三角法，因为会用到） *没有存稿 随缘更新

浙大优学上高中圆锥曲线培优教程上的题，太难了真的不会了，新人，看了吧规说的难度要不低于高联，感觉这个难度真的不低了，而且这个题我感觉更像是纯几何题，两线段长度乘积刚好是椭圆或双曲线的蒙日圆的幂，违规勿喷谢谢，立刻删

感觉平几水平退化了不少

求助佬们，切点找不到是啥

非等边△ABC，外心O，垂心H，以H为圆心的某圆与HA，HB，HC交于X，Y，Z满足平面上存在P使OXOYOZ分别平行AP，BP，CP。证明：圆H半径＜4R圆（ABC）。 （注：所给图未满足条件）

已知圆内接四边形ABCD，PQ为其外接圆直径。 求证：PQ关于四个三角形的垂极点及ABCD的poncelet点共线。

最近连个月吧内突然出现了好多大神，感觉要跟不上时代了

学校研究性学习出的，不知难度如何[lbk]表情[rbk]有无大佬帮试试[lbk]图片[rbk]

译文：在一个锐角三角形ABC中，AB < AC，I为三角形的内心，BC的垂直平分线分别交BI于P，交CI于Q. ⊙BIQ与⊙CIP的另一个交点为X，AX交BC于D. 试证明D位于⊙AQP上.

如图，求教大佬

設 I, I_a, I_b, I_c 分別為三角形 ABC 的內心, A-旁心, B-旁心, C-旁心. 設 (P,Q), (R,S) 為三角形 ABC 的等角共軛點點對且 PQ 平行 RS. 設 M, N 分別為 PQ, RS 的中點. 證明: I, I_a, I_b, I_c, M, N 在一條圓錐曲線上.

意外收获小结论（不知是否熟悉）

PQ为一等角共轭点对，PQ的正对应极点P’Q’，PP’交OK于U，类似定义V，证明UV调和分割OK

你们用什么画图软件啊，手写好不干净

顺便祝吧u新年快乐

证明围出三角形外接圆过N，又过了一年

取T=共轭重心K，U=brocard轴上一点，即8050 取T=共轭重心K，U=外心O，即8134 取T=内心I，U=任意点，即3002

The Method of Animation专题 我的翻译是平面几何动态方法 原帖：https://artofproblemsolving.com/community/c6h1952595 这个方法在国外已经为大家所用很长一段时间了，但是在国内貌似用的比较少，个人感觉该方法还是很有趣的，遂发此帖，本帖中我大多数时间做翻译工作。

数之迷2025新春跨年题12

高联难度 没听懂 求讲解思路 谢谢佬

已知△ABC。P，Q为一对反角共轭点。 求证：P，Q分别关于三边的对称点的外接圆与⊙（ABC）共轴

吧里有资源版却没有资源，我来分享一下这些年收集的电子资源吧。本人水平下降严重加上兴趣向组合转移，这些东西有生之年应该是看不完了。 1. 100题没啥好说的，传播度比较广了； 2. 几何文章主要是NS和中数上的，中数是白嫖的高校资源，高中生应该是不太容易弄到； 3. 几何杂志其中FG和JCG已经停刊，应该（？）是全收录，IJG专门筛选出了平几和几何不等式的文章，已更新到2024最新内容； 4. 剩下就是各种中英文书，知名的不知名的都有，很多我

这是封面 先占个坑，以后慢慢更新

引:垂极点这一概念,最早由Neuberg提出，在Johnson的《Advance Euclidean Geometry》(《近代欧氏几何学》) 上在证明Fontene定理之后简略地介绍了垂极点的性质，而Gallaty的《The Modern Geometry of Triangle》(《近代的三角形几何学》上对垂极点进行了较为详细的研究。 在国内，老封先生，即叶中豪老师曾研究过垂极点并在东方论坛的数学版上发帖列举其性质，在东方论坛，奥数之家网站上可以找到不少垂极点的性质。而dqzy800先生，曾在东方论坛上列举了一些垂极椭圆的

给定两个圆，A为大圆上一点，过A作如图折线使得每条线都内接于大圆且外切于小圆. 设B_2B_3交C_2C_3于D，B_2C_2交AD于E. 证明：E的轨迹不是圆.

已知圆A、B、C，和一个三角形DEF（下图是⊿DEF为正三角形时的例举图片），满足从三个圆上任取一点X都存在两个点对（Y1，Z1）（Y2，Z2）分别在另两个圆上，使每一组⊿XYZ∽⊿DEF，在此条件下，求证⊿XYZ面积最大和最小时，其顶点和对应圆心连成的三条线共点，即AY、BX、CZ共点，（目前数值验证成立，但缺乏严谨证明，因此证否也可）

给定椭圆Γ，设三角形ABC的垂心为Γ的右焦点F_2，点A B C关于Γ的切线围成三角形DEF. 证明：(1)三角形ABC的内切圆为定圆. (2)三角形DEF的垂心H为定点.

平面内有n条直线，分别为A₁A₂、A₂A₃、A₃A₄…Aₙ₋₁Aₙ、AₙA₁，且n边形A₁A₂A₃A₄…Aₙ₋₁Aₙ是正n边形．在直线AₙA₁上任取一点B₁，在直线A₁A₂上任取一点B₂，在直线A₂A₃上任取一点B₃…在直线Aₙ₋₁Aₙ上任取一点Bₙ．取△A₁B₁B₂的外心，记作O₁；取△A₂B₂B₃的外心，记作O₂；取△A₃B₃B₄的外心，记作O₃…取△AₙBₙB₁的外心，记作Oₙ．连结O₁O₂、O₂O₃、O₃O₄…OₙO₁，再连结B₁O₁、O₁B₂、B₂O₂、O₂B₃…BₙOₙ

证明：圆锥曲线内接正三角形的重心的轨迹为一条圆锥曲线 不知结论是否陈，能找到解析法会的证明，但没有找到纯几何的方法，各位吧友有无好的方法？（关键是我没想出来如何好地刻画正三角形） （这个正三角形我无法严格地作出来，就盗一张图吧）