1.平均值不等式:
设ai(i=1，2，…，n)属于R+，
记
Qn=((E(i=1，n)(ai)^2)/n)^(1/2)，
An=(E(i=n)ai)/n，
Gn=(II(i=1，n)ai)^(1/n)，
Hn=n/(E(i=n)(1/ai))，
则有Qn=〉An=〉Gn=〉Hn，
等号当且仅当a1=a2=…=an时成立

2.Cauchy不等式:
设ai，bi属于R(i=1，2…n)，
则
(E(i=1，n)(ai)^2)(E(i=1，n)(bi)^2)=〉(E(i=1，n)(aibi))^2

第2条补充:
当数组ai，bi不全为0，等号当且仅当bi=kai(i=1，…，n)时成立.
及以下变形:
(1)设ai属于R，bi〉0，则
(E(i=1，n)((ai)^2)/bi)=〉((E(i=1，n)ai)^2)/(E(i=1，n)bi)，
等号成立当且仅当bi=kai，
(2)设ai，bi同号且不为0，则
E(i=1n)(ai/bi)=〉(E(i=1，n)ai)^2/(E(i=1，n)(aibi))，
等号成立当且仅当b1=b2=…=bn

3.Chebyshev不等式:
设有两个有序数组:a1〈=a2〈=…〈=an，b1〈=b2〈=…〈=bn，
则n(E(i=1，n)aibi)=〉(E(i=1，n)ai)(E(i=1，n)bi)=〉(nE(=i，n)(aib(n-i+1)))，
等号成立当且仅当a1=a2=…=an，b1=b2=…=bn

4.排序不等式:
设有两组数a1，a2，…an，b1，b2，…，bn，
满足a1〈=a2〈=…〈=an，b1〈=b2〈=…〈=bn，
则有E(i=1，n)aibi=〉E(i=1，n)(aib(ti))=〉E(i=1，n)(aib(n-i+1))，
其中{t1，t2，…，tn}={1，2，…n}，
等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn

5.切线长代换:
a=x+y，b=y+z，c=z+x，
(其中a，b，c为三角形三边长，x，y，z分别为其内切圆切点分三边长)

6.若abc=1，则可设a=x/y，b=y/z，c=z/x

7.增量代换:适当引入增量

8.
若ab+bc+ca=1，
则可令a=tan(A/2)，b=tan(B/2)，c=tan(C/2)，
或者a=cotA，b=cotB，c=cotC

9.若1+a+b+c=4abc，等价于1/(1+2a)+1/(1+2b)+1/(1+2c)=1

10.若a^2+b^2+c^2+2abc=1，则可令a=cosA，b=cosB，c=cosC

11.海伦公式:(4S)^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

12.Young不等式:
设p〉0，q〉0，1/p+1/q=1，
则对x，y〉0有(1/p)x+(1/q)y=〉x^(1/p)y^(1/q)，
等号当且仅当x=y

13.
(1)若x属于[a，b]时，f(x)，g(x)连续，f(x)不恒等于g(x)且f(x)〈=g(x)，
则f(a，b)f(x)dx〈f(a，b)g(x)dx，
(2)若an〈=f(n-1，n)f(x)dx〈=bn，
则E(k=1，n)ak〈=f(0，n)f(x)dx〈=E(k=1，n)bk