注：刻卜勒 大陆音译 为 开普勒
刻卜勒不只关心天体运行这种大问题，他对自然界的小事物也非常感兴趣。这里就要提到他对本书主题的贡献。刻卜勒的猜想首先出现在一本书名为《六角的雪花》的小书上，这是刻卜勒在1611年写给好友冯瓦克菲尔斯当新年礼物的。刻卜勒在布拉格时认识了冯瓦克菲尔斯，他是旅行家、知识份子，有时也充当布勒斯罗（Breslan）地区主教的外交官。
这本小书是以拉丁文的白话体裁写的，里面充满了朋友间的玩笑，现在几乎没人看得懂了。除此之外，书中还引述了许多希腊神话及当时的科学，只有当代的饱学之士才能充分领会。显然刻卜勒与冯瓦克菲尔斯对当时名家的作品都相当熟悉。
在这本谈雪花的小书里，刻卜勒想研究为什麼雪花是六角形的，但在探讨雪花之前，先检验了与大自然的形态有关的三个问题：为什麼蜂房是以六边形组成的？为什麼石榴的种子是十二面体？为什麼花瓣大都是五片？
蜜蜂造的蜂房都是六边形的，蜂房的底部再用三个四边形封起来，因此除了住在最外围蜂房的蜜蜂外，所有的蜜蜂都有六个邻居，蜂房底部再与三个邻居相邻。每个蜂房的顶端都没有密封，小蜜蜂没有为自己的家盖屋顶，御用数学家刻卜勒很精明的指出，这样小家伙才有出入口，否则就会把自己封死了。不过引起刻卜勒注意的，是蜂房的结构平面图，他想解释为什麼蜂房会是六边形呢？刻卜勒想到了三个理由。他逐步推演的过程，虽然有很多可议之处，但却相当漂亮。
刻卜勒首先注意到，六边形可以铺满整个平面而不留空隙。但正方形与三角形也一样可以啊！为什麼是六边形？依据刻卜勒的想法，其他两种形状的面积比六边形小，六边形的蜂房可以贮放较多的蜂蜜。不过大师在这里只是轻轻一语带过，没有详细说明这三个几何形状是在什麼基础上，做面积的比较。毕竟一个大三角形的面积，会比小的六边形还大。他可能是说，在相同的边长情况下，六边形的面积比正方形、三角形都大。或者是在同样的面积下，六边形的边长最短。
暂且就算他说得对吧。大师接著提出第二个理由，说明为什麼蜂房是六边形。接照刻卜勒的说法，蜜蜂最舒服的居所应该是圆形的，而三种能把平面完全铺满的几何图形当中，六边形最没有锐角，也最接近圆形，因此它比正方形与三角形更合适当蜂房。关於蜂房为什麼是六边形的，西元前 36 年时，罗马学者瓦罗（Mareus Terentius Varro）也曾提出一个很有趣的说法。他说这是为了让蜜蜂的六条腿，可以安置在六边形的六个边上。这当然是个笑话。
让我们再回到刻卜勒的说法。如果蜜蜂筑巢的最高指导原则是舒适、有贮存空间，或尽量节省建筑蜂房的材料，那为什麼蜂房不是圆形的呢？毕竟在同样的表面积之下，圆形比三角形更省材料，也更舒适。这就要谈到最後一个原因了，而且这个原因还可以分成三点来说。
首先，小蜜蜂在建造自己的蜂房时，隔壁的蜜蜂可以来帮忙，共同建造公用的墙。每只蜜蜂只要造一道墙就成了。如果蜂房是圆形的，蜜蜂只好独力完成自己的蜂房。其次，刻卜勒声称六边形蜂房的直边，会比圆形的蜂房稳固，比较不容易压碎。不过工程师一定不能苟同这种说法。在中古世纪时教堂的建筑师就知道，拱型的门廊比方形的门框更能受力。
最後，可能也是最有说服力的说法，就是：如果蜂房是圆形的，蜂房之间会有空隙，那麼冬天时冷空气就会渗进来，而这是要尽量避免的。事实上，刻卜勒在这时又绕回最初的论点，他一开始的主张就是：蜜蜂是为了造出没有间隙的平面几何形状。在刻卜勒看来，这就已经足以解释为什麼大自然把六边形的蜂房模式，植入蜜蜂的本能中。他认为没有必要再进一步澄清了，因为六边形是「完美、漂亮且高贵」的图形，当蜂房的形状最合适不过了。
等待化学家解谜
接著刻卜勒把注意力转移到雪花六角形的形状上。他认为雪花的外型，其实是由不可见的小薄片组成的。这段说明非常重要。因为自从希腊思想家德谟克利图斯（Democritus，西元前460-370）提倡原子论，认为所有的物质都是由不可见的小微粒（原子）组成後，这是第一次真的有科学家，以原子论的观点来解释自然现象。
事实上，真正的原子论者是哈瑞欧特，他在写给刻卜勒的信里，提到原子存在的概念。不过刻卜勒虽然在《六角的雪花》里，提到一些类似原子论的陈述，他本人可不像哈瑞欧特那麼相信原子。除此之外，哈瑞欧特对结晶的次序也有洞见，不过後人把这些全归功给刻卜勒。哈瑞欧特也知道「六方最密堆积」与「面心立方堆积法」的相似性。
刻卜勒对雪的思考到此为止。虽然他已使尽了浑身解数，我们的英雄对於雪花为什麼会形成六角形，依旧提不出令人满意的答案。在连篇的推论之後，刻卜勒终於举双手投降，承认雪花的形状只能用所谓的「自然形成机制」来说明。也就是雪花的美丽型式，是造物主设计的。他深切了解自己的失败，因此在此书的最後一页，鼓励科学後进，挑战雪花的六角形之谜。他特别对「化学家」寄予厚望，认为最後的答案一定是由化学家提出的。这件事在三百年之後才搞定。
本文摘自：
刻卜勒的猜想－「费马最後定理」之後，最吸引人的数学问题
作者：史皮娄（George G. Szpiro）／ 译者：叶伟文
出版：天下文化
刻卜勒不只关心天体运行这种大问题，他对自然界的小事物也非常感兴趣。这里就要提到他对本书主题的贡献。刻卜勒的猜想首先出现在一本书名为《六角的雪花》的小书上，这是刻卜勒在1611年写给好友冯瓦克菲尔斯当新年礼物的。刻卜勒在布拉格时认识了冯瓦克菲尔斯，他是旅行家、知识份子，有时也充当布勒斯罗（Breslan）地区主教的外交官。
这本小书是以拉丁文的白话体裁写的，里面充满了朋友间的玩笑，现在几乎没人看得懂了。除此之外，书中还引述了许多希腊神话及当时的科学，只有当代的饱学之士才能充分领会。显然刻卜勒与冯瓦克菲尔斯对当时名家的作品都相当熟悉。
在这本谈雪花的小书里，刻卜勒想研究为什麼雪花是六角形的，但在探讨雪花之前，先检验了与大自然的形态有关的三个问题：为什麼蜂房是以六边形组成的？为什麼石榴的种子是十二面体？为什麼花瓣大都是五片？
蜜蜂造的蜂房都是六边形的，蜂房的底部再用三个四边形封起来，因此除了住在最外围蜂房的蜜蜂外，所有的蜜蜂都有六个邻居，蜂房底部再与三个邻居相邻。每个蜂房的顶端都没有密封，小蜜蜂没有为自己的家盖屋顶，御用数学家刻卜勒很精明的指出，这样小家伙才有出入口，否则就会把自己封死了。不过引起刻卜勒注意的，是蜂房的结构平面图，他想解释为什麼蜂房会是六边形呢？刻卜勒想到了三个理由。他逐步推演的过程，虽然有很多可议之处，但却相当漂亮。
刻卜勒首先注意到，六边形可以铺满整个平面而不留空隙。但正方形与三角形也一样可以啊！为什麼是六边形？依据刻卜勒的想法，其他两种形状的面积比六边形小，六边形的蜂房可以贮放较多的蜂蜜。不过大师在这里只是轻轻一语带过，没有详细说明这三个几何形状是在什麼基础上，做面积的比较。毕竟一个大三角形的面积，会比小的六边形还大。他可能是说，在相同的边长情况下，六边形的面积比正方形、三角形都大。或者是在同样的面积下，六边形的边长最短。
暂且就算他说得对吧。大师接著提出第二个理由，说明为什麼蜂房是六边形。接照刻卜勒的说法，蜜蜂最舒服的居所应该是圆形的，而三种能把平面完全铺满的几何图形当中，六边形最没有锐角，也最接近圆形，因此它比正方形与三角形更合适当蜂房。关於蜂房为什麼是六边形的，西元前 36 年时，罗马学者瓦罗（Mareus Terentius Varro）也曾提出一个很有趣的说法。他说这是为了让蜜蜂的六条腿，可以安置在六边形的六个边上。这当然是个笑话。
让我们再回到刻卜勒的说法。如果蜜蜂筑巢的最高指导原则是舒适、有贮存空间，或尽量节省建筑蜂房的材料，那为什麼蜂房不是圆形的呢？毕竟在同样的表面积之下，圆形比三角形更省材料，也更舒适。这就要谈到最後一个原因了，而且这个原因还可以分成三点来说。
首先，小蜜蜂在建造自己的蜂房时，隔壁的蜜蜂可以来帮忙，共同建造公用的墙。每只蜜蜂只要造一道墙就成了。如果蜂房是圆形的，蜜蜂只好独力完成自己的蜂房。其次，刻卜勒声称六边形蜂房的直边，会比圆形的蜂房稳固，比较不容易压碎。不过工程师一定不能苟同这种说法。在中古世纪时教堂的建筑师就知道，拱型的门廊比方形的门框更能受力。
最後，可能也是最有说服力的说法，就是：如果蜂房是圆形的，蜂房之间会有空隙，那麼冬天时冷空气就会渗进来，而这是要尽量避免的。事实上，刻卜勒在这时又绕回最初的论点，他一开始的主张就是：蜜蜂是为了造出没有间隙的平面几何形状。在刻卜勒看来，这就已经足以解释为什麼大自然把六边形的蜂房模式，植入蜜蜂的本能中。他认为没有必要再进一步澄清了，因为六边形是「完美、漂亮且高贵」的图形，当蜂房的形状最合适不过了。
等待化学家解谜
接著刻卜勒把注意力转移到雪花六角形的形状上。他认为雪花的外型，其实是由不可见的小薄片组成的。这段说明非常重要。因为自从希腊思想家德谟克利图斯（Democritus，西元前460-370）提倡原子论，认为所有的物质都是由不可见的小微粒（原子）组成後，这是第一次真的有科学家，以原子论的观点来解释自然现象。
事实上，真正的原子论者是哈瑞欧特，他在写给刻卜勒的信里，提到原子存在的概念。不过刻卜勒虽然在《六角的雪花》里，提到一些类似原子论的陈述，他本人可不像哈瑞欧特那麼相信原子。除此之外，哈瑞欧特对结晶的次序也有洞见，不过後人把这些全归功给刻卜勒。哈瑞欧特也知道「六方最密堆积」与「面心立方堆积法」的相似性。
刻卜勒对雪的思考到此为止。虽然他已使尽了浑身解数，我们的英雄对於雪花为什麼会形成六角形，依旧提不出令人满意的答案。在连篇的推论之後，刻卜勒终於举双手投降，承认雪花的形状只能用所谓的「自然形成机制」来说明。也就是雪花的美丽型式，是造物主设计的。他深切了解自己的失败，因此在此书的最後一页，鼓励科学後进，挑战雪花的六角形之谜。他特别对「化学家」寄予厚望，认为最後的答案一定是由化学家提出的。这件事在三百年之後才搞定。
本文摘自：
刻卜勒的猜想－「费马最後定理」之後，最吸引人的数学问题
作者：史皮娄（George G. Szpiro）／ 译者：叶伟文
出版：天下文化
