假设这个比例为h,并且取a_0=0,我们得到
a_k+a_{k+1}+...+a_n=h(a_k-a_{k-1})
对于k=1,2,...,n都成立
于是对于1<=s<=n-1,我们有
a_s=(a_s+...+a_n)-(a_{s+1}+...+a_n)=h(2a_s-a_{s-1}-a_{s+1})
而其充要条件是出了上面n-1个等式,我们还需要加上a_n=h(a_n-a_{n-1}),或者说a_{n+1}=a_n然后递推式就可以扩展到s=n了于是我们有递推式
a_{s+1}+(1/h-2)a_s+a_{s-1}=0 (1<=s<=n),a_0=0,a_{n+1}=a_n
假设方程x^2+(1/h-2)x+1=0的两个根为u,v,于是uv=1,u+v=2-1/h
于是我们可以设a_k=c(u^k-v^k), (因为a_0=0)
由a_{n+1}=a_n得到
u^(n+1)-u^n-v^(n+1)+v^n=0
或
u^(2n+2)-u^(2n+1)+u-1=0
而显然中题目中u=1或-1都不可以
所以我们必然要求u是上面方程中除了1或-1以外的实数根或者范数为1的复根。