1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数，是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1+2+3+4… …的顺序计算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相加，每两个数的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98… …，直到50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此，101× 50就得出5050的总和了。从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。 

 

1·9＋2＝11 
　　12·9＋3＝111 
　　123·9＋4＝1111 
　　1234·9＋5＝11111 
　　12345·9＋6＝111111 
　　123456·9＋7＝1111111 
　　1234567·9＋8＝11111111 
　　12345678·9＋9＝111111111 
　　123456789·9＋10＝1111111111 
　　这里的“·”，是乘号的意思，以下都是如此。 
　　9·9＋7＝88 
　　98·9＋6＝888 
　　987·9＋5＝8888 
　　9876·9＋4＝88888 
　　98765·9＋3＝888888 
　　987654·9＋2＝888888 
　　9876543·9＋1＝8888888 
　　98765432·9＋0＝88888888 
　　1·1＝1 
　　11·11＝121 
111·111＝12321 
　　1111·1111＝1234321 
　　11111·11111＝123454321 
　　111111·111111＝12345654321 
　　1111111·1111111＝1234567654321 
　　11111111·11111111＝123456787654321 
　　111111111·111111111＝12345678987654321 
　　9·9＝81 
　　99·99＝9801 
　　999·999＝998001 
　　9999·9999＝99980001 
　　99999·99999＝9999800001 
　　999999·999999＝999998000001 
　　9999999·9999999＝99999980000001 
　　1·8＋1＝9 
　　12·8＋2＝98 
　　123·8＋3＝987 
　　1234·8＋4＝9876 
　　12345·8＋5＝98765 
　　123456·8＋6＝987654 
　　1234567·8＋7＝9876543 
　　12345678·8＋8＝98765432 
　　123456789·8＋9＝987654321 




　　

自然数中有一类数被称为"自守数"。所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。例如：

21×21=421 
21×21×21=9261
325×325=105625
6×6×6×6=1296 

　　这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成 ，这里a为任意自然数，那么：　　　　　　　　　　　　　　　 
　　由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。

　　如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？有。比如末尾是25和76的数就是自守数。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 
　　如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。