摘要：
本文中，将仅用基础几何的第一公设与第二公设给出两种第五公设证明方法。一种为简单的基本几何证明法，一种为基本几何与极限思想结合的证明法。并由第一公设与第二公设推导出了第五公设的前置命题。
关键词：
第五公设 证明 基本几何 极限

⒈
引言：
欧式几何第五公设近年来已被普遍认定为不可证明的公设。证明难度在于，其为欧式几何的最基本的十大公理之一。除了有限的几何定义以外，能应用到的只有其他几个基本公设、公理。特别是数学工作者，容易陷入惯性思维，应用基础几何的相关结论来证明第五公设，从而陷入逻辑漩涡。
而本文将仅从基础几何的第一公设“两点决定一条直线”、第二公设“直线的长度无限”出发，运用相关定义，证明第五公设。从而完善几何原本的逻辑体系。
本文的两种证明方法的基本思想在于：
一．从无到有。从最基本的直线关系逐步推演出第五公设的构成结构，并在推演过程中观察出其成立的前置命题。较为严谨。
二．从有到无。利用极限思想，把二维平面空间中的图形以极限的思想化简，简化第五公设中的图形。从而证明第五公设。因为涉及无限与有限的关系，相对严谨程度会较差一些。

2
证明：
证明背景：在严格的欧氏几何二维平面内。
一
第一种证明方法。从无到有。
应用到的定义：
定义19，直线形由直线围成，三边形由三条直线围成……
定义23，平行直线是在同一平面内的直线，向两方无限延伸，不论在哪个方向，他们都不相交。
应用到的公设：
第一公设，过两点能作且只能作一条直线。 第二公设，有限直线可以无限地延长。
证明过程。
① （由“过两点能作且只能作一条直线”，“有限直线可以无限地延长”。可推出“相交而又不重合的两条直线，交且仅交予一点。”）
做a，b直线，相交于O点。



② 同理。（若有一直线过此点，且不与之前两直线重合。则此直线与之前的两条直线相交且仅交予此点。）
过点O做直线x，x与直线a，b交于点O。



⑤
于（1-4）中，x与z平行。则图（1-5）中。

（1-5）
因为∠1=∠2 若∠1+∠3<180°，则为∠2+∠3<180°。
则直线b与z无限延长之后，一定会在∠1、∠3一侧相交。
可证明第五公设：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

二
第二种证明方法。从有到无。
应用的定义：
1．点是没有部分的东西
19．直线形由直线围成，三边形由三条直线围成……
应用的公设：
第二公设，有限直线可以无限地延长。

证明过程：
①由定义19可得，三边形为闭合图形。则其三边为有限直线。
又依据第二公设可得，三边形的三边可以无限延伸。
做任意三边形ABC，与其三边所在直线X、Y、Z。得下图。

(2-2)


其中三边形的三边AB、AC、BC为有限直线，x、y、z为其无限延伸后的直线。
∠a=∠a′ ∠b=∠b′ ∠c=∠c′

②当x、y、z开始延伸后。因构成三边形的三条边的长度有限。而x、y、z长度无限。则有AB、BC、AC相对于x、y、z长度将无限减小。
当x、y、z延伸至无限长时，三边形的三条有限边的相对长度将会降至零。
于是我们在其延伸无穷远后，可得到下图。

此时三边形的三条有限边的相对长度归零，导致了其相对面积归零（点是没有部分的东西）于是成为了点。ABC三点融合成为点O。
可得。
2∠a′+ 2∠ b′+ 2∠c′=360°
∠a′+ ∠ b′+ ∠c′=180°
又因为∠a=∠a′ ∠b=∠b′ ∠c=∠c′
∠a + ∠ b+ ∠c =180°
从而证明三角形内角和为180°
于是我们可以看到第五公设可以转化为。
在一个平面内，若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于180°（两个直角），则这两条直线在这一边必定构成一个三角形（相交）。


⒊ 结论。
从极限思想出发，把有限的三边形用极限简化为点后。我们依然可以得到三条直线相交且仅交于一点的图形。可以证明第五公设。
从基础几何的基本公设1与基本公设2出发，我们可以得到推论：任意相交且仅交于一点的三条直线，其中一条直线的平行线与另外两条直线必将围成一个三边形。由此推论可证明第五公设。
可见第五公设的构建其关键的前置图像应该为“同一平面上三条直线相交并只交予一点”。而由此图像延伸出信息“三条直线相交并且只交于一点，其中一条直线的平行线必与另外两条直线围成一个三边形。”应为第五公设的前置命题。

呵呵

呵呵

∠1+∠3<180°这个结论是怎么来的？这个需要证明

你的证明2只能说明当直线无限延长时，线段与直线的比值趋近于0，不能说明线段本身的长度就能变为0