6L德洛伊弗:
注重联系。对于那些定义,多想想为什么要这样定义,想描述怎样的现象(比如极限的定义,虽然说起来有点罗嗦,但它要表达的现象还算直观。“啰嗦”是因为要用数学语言准确严谨地表达直观现象,难免要用些记号、术语),定义的“直观背景”是什么。对于定理或推论,先不看证明,尽量通过举例子等方式从直观上理解,最好能在证明之前,从感情上接受这些结论,相信它们是合情合理的(比如极限的四则运算性质,证明或许需要些许技巧,但对“极限”有直观理解后,感情上是容易接受的)。直观理解应当优先于逻辑理解。
当然,初学时未必事事能搞清楚、想透彻,像有关实数连续性的一些基本概念、命题,开始确实容易摸不着头脑。这时不妨先从逻辑上理解,但学过一段后一定要反刍,从直观而不仅是逻辑上再回头想想,这时可能会豁然开朗,原先不知所云的东西变得比较自然、合理了。
重要的是多留一点时间自行理解、回味、思考,而且要坚持自主思考,不要盲目地大量做题或者一遍遍地单纯通读课本。
适当做题也很重要。事实上,定义-命题这种模式最容易陷入逻辑的汪洋大海,这时“例子”就是一盏指路明灯,抽象理论往往是从大量感性认识升华而来(数学分析尤其如此),也要用到具体的例子中才能抽分体现其价值。学抽象理论只是学到了骨骼,还要有血有肉才能丰满。做题就是一个重要的应用已学理论的方式,而且能反过来深化理解。这些不过做题不要贪多,一要选好题,二要坚持自己思考,三要隔一段时间返回头看看以前做过的题,检验自己是否已经真正理解。做题还能体现很多数学分析的技巧、手法,这些也重要,因为分析本身就是一门技巧性较强的学科,不过相对于理解,技巧还是第二位的,LZ明白这点就行。
不太清楚LZ的老师教学的顺序。个人感觉如果先从极限入手会直观一点,也与中学更贴近。不过为了逻辑合理,很多书是先讲一通与实数理论相关的东西,比如确界、戴德金分割等,这样确实有点“从天而降”的感觉,初学可能一时难以看清本质。LZ不妨先从极限概念、性质入手发展自己的“分析直观”,或许这样感觉会好些。