更正式的定义
　　一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：　　1、X是一**，x为X中一元素，f是X到自身的映射； 　　2、x不在f的值域内； 　　3、f为一单射。 　　4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A则A=X。 　　该结构与由皮阿罗公理引出的关于自然数**的基本假设是一致的： 　　1、P(自然数集)不是空集； 　　2、P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射； 　　3、后继元素映射像的**是P的真子集； 　　4、若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。 　　能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理！ 　　例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据。

原贴作者：冷月残雪x 现将其搬到这里。

@冷月残雪x

冷月残雪x
证明：第一种　　首先分割的概念：假设有理数分为A，B两类，每类非空，且每一个有理数必属且仅属于一类。属于下类A的每一个数小于属于上类B的每一个数，这样的分类法称分割。
若A类有最大数，或B类有最小数，则分割A/B确定一个有理数。否则确定一个无理数。 有了这个概念，我们看： 做出确定1的分割：一切有理数b>1归入B类，一切有理数a<=0和正有理数a<1归入A类我们有两个1，所以分割后将另一个的分割记作A'/B' 根据加法定义：满足a+a'<c<b+b' (对任意a属于A，b属于B....) 的唯一实数c就是1+1 因此我们须证恒有 (a+a')^2 <4 和 (b+b')^2>4 若a+a' > 0 （小于则显然成立） 则a与a'至少一个为正，从而a^2a'^2 < 1 知aa' < 1 从而 (a+a')^2 = a^2 +a'^2+2aa' <1+1+2 = 4
同理可得 (b+b')^2 > 4
于是 a+a'<2<b+b'
这个唯一的数就是2
:

还有一种方法
证明：(1+1/k)^(k+1)是单调递减的数列，而显然它的极限也是e.假设存在l>0使得(1+1/l)^(l+1)<e（不可能相等，一个是有限的一个是无限的），则对任意k>l都有(1+1/k)^(k+1)<(1+1/l)^(l+1)则由极限的保续性可知(1+1/k)^(k+1)的极限<=(1+1/l)^(l+1)<e,这与(1+1/k)^(k+1)以e为极限矛盾，证毕！（至于为何递减你做比就知道了，前半部分你可以用类似的方法证明）

第三种证法：
1+1的后继数是1的后继数的后继数，即
2的后继数是3
根据皮亚诺公理④
可得：1+1=2

实际上我们听到的证明1+1问题并不是真的是去明1+1=2，这是数论中哥德巴赫猜想的一个缩写而已，即证明每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和，简称为1+1问题。为了证明这个问题，很多数学家先证明了什么2+3、1+3等问题，其中最著名的是陈景润证明的1+2问题，其意思是指：对于任何一个大于10的偶数N，总可以找到奇素数P',P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立：
N=P'+P" 　　N=P1+P2*P3
所以请不知道的人不要擅自按字面上的意思理解。

1+1=2源自哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立。

1920年，挪威的布朗(Brun)证明了“9+9 ”。
1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7 ”。
1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6+6 ”。
1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”,“3+15 ”和“2+366 ”。
1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5 ”。
1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4+4 ”。
1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c ”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了“3+4 ”。
1957年，中国的王元先后证明了“3+3 ”和 “2+3 ”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1+5”， 中国的王元证明了“1+4”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了“1+2 ”[用通俗的话说，就是大偶数=素数+素数*素数或大偶数=

吧务折中处理
费心了
顶一个

20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。是因为哥德巴赫猜想的证明是999999+99999999（大概，不准确）开始的，就是第一个人证明了每一个足够大的偶数都可以表示为两个数之和（废话），这两个数其中的一个最多只能是999999个素数的乘积，然后第二个人证明了9999999+1，第三个人证明了9999+1，第三个人证明了99+1，以后9+1，8+1，7+1，一直到3+1。
　　现在电脑上的高级密码就是利用分解大合数很困难的办法，大合数就是要分解成质数，如果质数的规律找到了，分解大合数就很容易，那现有的高级密码都得改，如果你掌握这个规律不告诉别人，全世界最值钱的信息都对你敞开：你可以发射核武器，你可以把全世界的钱都转到你的账下，等等等等，总之，就象你有了万能钥匙，能打开世界上所有的大门。

以上楼层，都是冷月残雪在原贴中发的。

rmdfmb
逻辑实证主义的
数理哲学就是要求有一个严密定义在现代**论上的数理逻辑
进而研究（自然科学）命题的可证实性
并指出形而上学命题的概念指谓模糊无意义。。。
1+1=2确实是“被定义”的
你告诉大家的是这种现代**论下的严格定义是怎么回事儿。

哲学新星
你说的“1+1=2”是规定的数学基本关系，不用证明。
你不要把“1+1=2”与哥德巴赫猜想使用的代号“1+1”（注意，没有“=2”）相混淆。