(三) 引理二,任意有限元素A若有表达式A1,A2,……An,则A必可被A1,A2,……An之一表出。
证:假若A1,A2,……An均不能表出A,此与原假定A1,A2,……An是A的表达式矛盾。故得证。
(四) 任意奇合数均必可表为其奇因数相加的形式。(素数则不能,因为素数由定义没有因数,此时定义因数>1)。
证因奇合数都可以由ab表出,a>1b>1,ab就是a个b,或b个a,a,b都是奇数(如:15=3×5=3+3+3+3+3,或15=5+5+5)。
即是同时表明不能表为奇因数相加的奇数必定不是奇合数,必是素数
故得证。
(五) (1)中奇数+奇数的等式若非是两个素数相加必定可变換表为偶数+偶数的形式。
证:由于已知奇合数都必可表为奇因数相加,故非两个素数相加的等式必可表为奇因数相加的形式如:
d1+d2+……+dn (d均为奇数,(2M-1是合数时,数1才能在形如a+b的表达式中出现1次),将其分拆为二部相加必可表为偶数+偶数,并对每一个可变形的等式都客观存在,所以即是每一个可变形的等式必定可以表为偶数+偶数,【如:1+9=1+3+3+3=(1+3)+(3+3)】,故得证。
即是同时表明不能表为偶数+偶数的奇数+奇数式必定是素数+素数式
(六)结论。
由引理一(用点数表示数)知(1)中奇数+奇数的等式(a+b)与偶数+偶数的等式(c+d)的变换是互为对应的,即一个奇数+奇数的等式变换只能对应一个偶数+偶数的等式。同时也是一个偶数+偶数的等式的拆分变換只能对应一个奇数+奇数的等式。虽然我们不知道具体对应变换,但由引理二知必存在变换,由于两个奇因数之和≥4,因为对于任偶数2M的2+(2M-2)该式不能对应奇数+奇数式的因数表达式的变换,(因为数1最多只能在2M-1为奇合数时在变換中)故由S1,S2(形如a+b的数式个数记作S1,形如c+d的数式个数记作S2)知当M是偶数时(1)中至少存在一个素数+素数的等式。当M是奇数时(1)中至少存在两个素数+素数的等式(1不作素数计,S1≥3)。假如哥猜不成立,即是有一个偶数2m它的形如a+b的数都存在变换(即该2m的每一个形如a+b的数式均非素数+素数),由S1,S2知那么至少必有两个形如a+b的数式的变换为同一个形如c+d的数式,由引理一以及它们的互逆关系知该数式c+d
的拆分能同时表出两个不同的形如a+b的数式,此与引理一矛盾。
示例16,S1=4,形如a+b的式子为:
1+15,3+13,5+11,7+9
S2=4,形如c+d的式子为:
2+14,4+12,6+10,8+8
1+15→1+3+3+3+3+3
或1+15→1+5+5+5
由证明知这两个变换不能同时存在,
7+9→7+3+3+3
假如1+15→(1+5)+(5+5)
则7+9没有变换,因为6+10已经不存在,根据证明中的引理一,引理二,故知1+15必定还存在6+10之外之变换,事实上1+15→4+12