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充分性：Cauchy列（基本列）收敛
证明：
1、首先证明Cauchy列有界
取e=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有c
|a(n)-a(N)|<e=1
由此得：
|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|

(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).
令：
M=Max{|a(1),a(2),……,|a(N)|,|a(N)|+1}
这样就证明了，对于任何n都有a(n)<=M。
所以Cauchy列有界。

2、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）
因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的e>0，都存在N,使得m、n>N时有
|a(m)-a(n)|<e/2
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得
|aj(k)-A|<e/2
因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<e/2+e/2=e
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛

摘自liusibo900921，没看，不保证对～

@罗兰爱德华 速来

这个不等式等晚上我把我的解法贴上来~

盅哥，你坑我..小于弄成大于- -，害我去想柯西

直接均值一下就出来- -

盅哥，这题我用极限，偏导，函数思想都可以做，偏导太繁琐，函数证明太多- -，极限等会我发下，不等式想不到- -

不妨令0＜a≤b≤c＜1，由a+b+c=1得：0＜a≤1╱3≤c＜1，所以f（a）≤g（b）≤h（c），由于lim a→1╱3 f（a）=1000╱27，lim c→1╱3 h（c）=1000╱27，由夹逼准则知：lim b→1╱3 g（b）=1000╱27，由于a.b.c均可取1╱3，故不等式≥1000╱27

取对数，然后琴生不等式…

事实上，对于任意的ai>0（i=1，2，3…n），a1＋a2＋a3＋…＋an＝1，有(1/a1＋a1)(1/a2＋a2)(1/a3＋a3)(1/an＋an)>=(1/n＋n)^n

当然也可以不用琴生，构造函数f(x)=ln(1/x＋x)[(n^3-n)/(1＋n^2)](x-1/n)，利用求导求单调性，我们易得f(x)>=f(1/n)=ln(n＋1/n)