二·函数极限
从上面我们得出了数列极限的定义。下面我们来看一看函数的极限。
对于在点t附近有定义的函数f(x)，如何才能认定f(x)当x“趋近于”t的极限为y呢？
这时没有一个“充分大”的n，只有一个“充分接近t”的x。
所以，我们沿用上面的，取一个很小的正数ε，都能找到一个很接近t的x使得|f(x)-y|<ε。就假设x与t的距离是δ吧（即δ=|x-t|）。这样一来会出现与上面类似的问题：虽然f(x)离y很近，但是对于比x更接近t的x1呢？是否有|f(x1)-y|<ε？
假若有一些比x更接近t的x1，但是f(x1)与y相差很大，那么也不行。
所以对于所有的比x更接近t的x1(0<|x1-t|<δ)都应该保证|f(x1)-y|<ε才行。
因此，完全类似地，我们得到以下定义：
设点t，以及在t附近有定义的f(x)（定义域为E）。
如果对于任意小的ε>0，都有一个δ>0，使得一切满足0<|x-t|<δ的x∈E，都有|f(x)-y|<ε，那么就说f(x)当x→t的极限是y，记作lim(x→t)f(x)=y。

三·导数
1）启发性想法
导数的起源是几何。后来导数在物理上也有很多的应用。
首先，导数来源于这样的一个问题：求一条曲线的切线。
假设这条曲线是以y=f(x)的函数的形式给出的，我们此时要求A(x,f(x))处的切线。因为我们知道了这一个点，所以我们只要知道切线斜率就够了。
怎样才是切线呢？我们取曲线上另一个点B(t,f(t))，连接AB得到一条直线，很显然这并不是切线；它是一条“割线”。要是我们想得到切线，我们可以让B充分接近A，从而这条割线也就越来越接近接近切线。
可见，AB的斜率k(t)=(f(t)-f(x))/(t-x)。所以要得到切线斜率，我们就可以对k(t)取t→x的极限。即k=lim(t→x)k(t)。
因此，我们可以如上引入一个值k，称作f在x处的导数。
2)定义
设函数f在点x0附近有定义。如果极限lim(t→x0)(f(t)-f(x0))/(t-x0)存在，那么就称这个极限值为f在x0处的导数，记作f'(x0)，或者df/dx|x=x0。
如果记△x=t-x0，那么上述极限也可写作lim(△x→0)(f(x0+△x)-f(x0))/△x

最好附上积分的定义

暂且填上微分的坑……
微分
现在我们有一个复杂的函数f(x)，我们不好研究它。但是我们又想去研究它，所以，我们考虑可以用容易研究的函数g(x)去近似表示f(x)。
怎么算容易研究呢？最容易研究的函数——当然是一次函数g(x)=kx+b了。但是显然一次函数不能很好地近似复杂的函数，所以，我们考虑可以在某一点的附近“局部地”用一次函数来近似f。
假设给定了这个点x0，我们现在来探究如何去用一次函数近似f。我们希望，f(x0)-g(x0)最好要等于0。于是，g(x)过点(x0,f(x0))，于是可以将g的表达式写作g(x)=k(x-x0)+f(x0)。
要考量近似的程度，就要做差f(x)-g(x)。我们把它记作p(x)。由上面的表达式我们有p(x)= f(x)-g(x)=f(x)-f(x0)-k(x-x0)
很显然p(x0)=0，且p(x0+h)= f(x0+h)-f(x0)-kh。显然，要想较好地近似f，当h趋近0时p(x0+h)必须要比h“更快”地接近0，从而使x0附近的误差尽量小。严格写起来就是，当h→0时p(x0+h)/h→0（也就是说，p(x0+h)是h的高阶无穷小,记作o(h)）。
从而有p(x0+h)=o(h)。
因此从原式可得，f(x0+h)-f(x0)-kh=o(h)，也就是说，f(x0+h)-f(x0)=kh+o(h)。
一般来说，我们习惯把f(x0+h)-f(x0)记作△f，如果要详细表明自变量h的话就写成△f(h)。所以，△f(h)=kh+o(h)。
【对上式两边同时除以h得到，△f(h)/h=k+o(h)/h，如果此时我们令h→0的话，就会得到f’(x0)=k，也就是说，我们所求的一次函数g也就是f在x0处的切线。】
为了统一起见，我们规定线性函数kh为f在x0的微分，记作df(h)（即是说，df(h)=kh）。注意，微分df是个函数（虽然它有两个字母= =），而不是个变量。
为了写法上的方便，我们取恒等映射π（π(h)=h），那么就有df(h)=kπ(h)，于是我们可以不写自变量h而只写函数：df=kπ。
出于习惯，微分学上一般把这里的恒等映射π写作dx（它的由来是f(x)=x的微分，df(h)=h）。然后，我们把式子中的k换成f’(x0)，看看我们得到了什么：
df=f’(x0)dx
也就是说，df/dx=f’(x0)，这就是我们熟悉的导数的莱布尼茨记号。
至此，df/dx有了两个含义，一个是算子d/dx作用在f上，另外一个就是df和dx两个函数的商（微商之名由此而来）。
【另外，对于函数定义域内每一个可微的点x0，我们都能找到一个微分df。所以我们得到了一族微分，可以把它记作函数的形式df(x)，注意，这时对于每个x0，df(x0)依旧是个函数（或者说，df(x)的函数值也是函数），其自变量为h。为了清晰起见，我们可以把这个“两重”的函数写作df(x)(h)。要注意，它与二元函数是不一样的，它更像一个向量场（向量场在空间中每一点附上一个向量，比如电场；而df(x)(h)在每一个x附上一个函数）。实际上学了张量的知识后会发现，它是一个一阶张量场。】

开始学高数了，特地来看一下

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居然还有人。。那就继续顶吧。。

都不会啊

木瓜讲解得好好，尽管说我没怎么看懂呢~~

好深奥