穿鞋问题。

一.假设初始状态每个门有2双鞋子。每个门进出概率都为1/2。
1.0。令每天出门和进门不在同一个（概率为0.5）。设期望为X。X=1+1+0.5X,即X=4.
综上所述 期望天数=8。哈哈 看懂的是超人。

如果推广到n个门和m双鞋，能算出通式来吗？

设E(i,4-i)为前门i双鞋，后门4-i双鞋的情况下的期望天数。
显然有：
E(3,1)=E(1,3)
E(4,0)=E(0,4)
每天有1/2机会同一个门进出，什么都没有改变。1/4机会前门多一双鞋，后门少一双鞋。1/4机会后门多一双鞋，前门少一双鞋。
所以有：
E(2,2)=1/2(E(2,2)+1)+1/4(E(3,1)+1)+1/4(E(1,3)+1)
解得：
E(2,2)=E(3,1)+2
同时有:
E(3,1)=1/2(E(3,1)+1)+1/4(E(4,0)+1)+1/4(E(2,2)+1)
解得E(3,1)=E(4,0)+6
注意到如果有一个门没有鞋了,则早上有1/2机会没有鞋穿,1/4机会什么都没改变,1/4机会没有鞋的门多一双鞋.
有:
E(4,0)=1/2*1+1/4(E(4,0)+1)+1/4(E(3,1)+1)
解得E(4,0)=5
E(3,1)=11
E(2,2)=13

下面把这个问题变个形式，来一道有名的题目。
每个门口我都放了n双鞋，但是任何一双鞋我只穿一次。
某天早上我发现没有新鞋穿了，问此时另一个门里还有r双新鞋的概率？