1.a(t)是向量值函数,证明:
(1)|a|是常数当且仅当<a(t),a'(t)>=0.
(2)a(t)方向不变当且仅当a(t)∧a'(t)=0.

2.E^3的正则曲线的曲率和挠率分别为k(t)=|r'∧r''|/|r'|^3.τ(t)=(r',r'',r''')/|r'∧r''|^2.

3.(1)设E^3的曲线C的所有切线过定点,证明C是直线.
(2)证明所有主法线过定点的曲线是圆.

4.给定曲线r(s),它的曲率和挠率分别是k,τ.r(s)的切向量t(s)可视为单位圆周上的一条曲线.证明r1(s)=t(s)的曲率和挠率分别为k1=(1+(τ/k)^2)^(1/2),τ1=d(τ/k)/ds/k[1+(τ/k)^2].

5.证明满足条件(1/k)^2+(1/τd(1/k)/ds))^2=常数的曲线,或者是球面曲线,或者k是常数.

6.求沿曲线的切向量场v(s),满足(1)dt/ds=v(s)∧t(s)
(2)dn/ds=v(s)∧n(s).
(3)db/ds=v(s)∧b(s).

7.证明曲线F(y/x,z/x)=0的任意切平面过原点.该曲面有什么特征?

8.在曲面S:r=r(u,v)上一点,由方程Pdudu+2Qdudv+Rdvdv=0确定两个切方向.证明这两个方向正交的充要条件是ER-2FQ+GP=0.

9.证明K I-2H II+ III=0.

10.设曲面S由x^2+y^2-f(z)=0给定,f满足f(0)=0,f'(0)不为0,证明S在(0,0,0)点的法曲率为常数.

11.设曲面S:r=r(u,v)没有抛物点,n是S法向量,曲面S1:r1=r1(u,v)=r(u,v)+λn(u,v)成为S的平行曲面.(1)证明S和S1在对应点的切平面平行.
(2)可以选取S1的法向n1,使得S1得Gauss曲率和平均曲率分别为:K1=K/(1-2λH+λ^2K),H1=(H-λK)/(1-2λH+λ^2K).

12.若曲面的切平面过定点,则该曲面是锥面.

13.证明直纹极小曲面是平面或正螺面.

14.证明当(u,v)是曲面的正交曲率线网时,Codazzi方程可写为Lv=HEv,Nu=HGu.