①
我是一位高三学生，懂得一点高等数学。最近做一道题时，另一位同学问我这么一个问题：在汽车以恒定功率启动时，能否求出速度v与时间t的关系。我经过一番推导得出了结论，下面是我的过程：
(f+ma)v=p→a=p/mv-f/m→dv/dt=p/mv-f/m→mvdv/(p-fv)=dt，两边积分，得-m/f·v-mp/f²·ln(p-fv)=t+C（C待定）
由于t=0时v=0，得C=-mplnp/f²，所以-m/f·v-mp/f²·ln(p-fv)=t-mplnp/f²
那么问题来了，当我费了好大劲求出这个式子时，我发现当v→vmax=p/f时，t→＋∞！
也就是说，汽车以恒定功率启动时，将永远不可能达到所谓的最大速度。我们的老师和复习资料都却都说汽车将先达到最大速度，然后匀速运动，简直在逗我们

②
当时我们俩遇到的那道题是这样的：
赛车（模型）在粗糙桌面上运动一段距离后能越过鸿沟，初速度v0=1m/s,m=1kg,p=10W,f=2N,桌面长L=10m，第一问求出要越过鸿沟的速度最小值v为3m/s，然后第二问求赛车运动的最短时间。
答案直接由动能定理，pt-fL=1/2mv²-1/2mv0²，得t=2.4s
然而我们发现，如果答案所说的是正确的，由于汽车加速，所以其通过的路程小于v（末速度）t=7.2m＜L！
因此我们向老师反映，老师把题目改成了发动机工作的最短时间。

③
但是问题还没有解决，我的同学极具探究精神，他非要求出运动的最短时间，于是他让数学水平稍高的我求出v-t的表达式，于是就有了上面的问题。
我的想法是，既然表达式已求出（应该没求错），那么就可以求定积分，求出其图像面积等于L=10m时的t值，就可以求出最短时间。但是我求出的表达式是t=f（v），而非v=f（t），因此无法直接积分，我的想法是用计算机解决这个问题。

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最后，我发此贴求助的问题主要是以下两个：
1.在汽车以恒定功率启动的模型中，汽车能否达到最大速度（即p/f),有没有研究这个问题的文献？
2.我求出的-m/f·v-mp/f²·ln(p-fv)=t-mplnp/f²，将那道题的具体数值代入即可得到v与t的关系式，能否求出其图像与横轴所围成的图形的面积为10m时的t值？
恳请各位大神耐心看完，解决我这个小小高中生的疑惑吧！

第一个：不能，原因，你说对了从t0到t1,速度从v0到v1，则：
t1-t0 = -(Pm/f²)* ln[(P/f-v1)/(P/f-v0)] - (m/f)*(v1-v0)
第二问：无法直接积分，无法用初等函数表达，可以用计算机，但也只能得到数值解，不过不用计算机，用计算器也可以估算，你完全可以自己动手制作一张t-x图表
关于路程的表达式是：
P(t1-t0) - f(x1-x0) = 1/2mv1²-1/2mv0²
带入t1与t0的表达式可以得到 x1-x0 = ……我省略不写（总之等式右端只有速度变量）
总之虽然你得不到x(t)的显式表达，但是你得到了关于t，x的参数表达式，参数就是v
形式就是t = t(v)，x=x(v)；
给定v的不同值你就可以得到关于t和x的一张数值表格了

在现实情况下是能达到的，微绕无处不在。这种东西也没人研究。二，这个函数是可以表示的，形式大约是v=v0*（1-e^-t/k）式中k是某时间参量，可由积分得到，v与t的函数关系已经给出，而且其面积积分可解析，是可以求出来的。

楼主计算没错，如果求反函数，那么v关于t的，在t趋于零时是渐近的，无穷远处才能达到。实际上楼主学习电路分析后，含有电容电路里一阶响应后，你会发现解出来的电流电压都是e指数函数，都是无穷远的极限值。不过建议楼主在校刊（大学里也可以）发表一些你的解答小论文锻炼一下，日后定有成就。至于为什么理论和实际不符合，那是因为我们都把理论理想化了，理论是建立在线性系统中的，而实际是非线性系统，非线性系统的微小扰动，可以达到控制。

@枣泥马院长

@智多星2007

不能用理论计算来直接套用实际问题…例如…在刚刚启动时，车速极小，动力极大，而汽车由轮子转动与地面摩擦产生的摩擦力前进，一旦动力超过最大摩擦力轮胎将打滑空转～加速度恒定为μg，直到一定速度时，牵引力小于最大静摩擦～这期间的vt图应该是直线才对，所以纯公式算出来的都是扯犊子～要不就纯理论算算练习一下计算能力，要不就严谨一些的实际分析…千万别把纯理论计算带去到现实情况中，本来就是矛盾的…

楼主还在吗？我也遇到了类似的问题，但是用动能定理在给定“达到最大速度的时间”后，可以算出物体此时的位移，这两个矛盾吗，为什么，求解答，谢谢