已知r是实数.
构造函数f(x)=(1+x)^r-rx-1(x>-1).
1º r>1或r<0时 f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r>0,
解得x>0.∴f(x)在(-1,0)(0,+∞).
∴f(0)最小=0.∴f(x)=(1+x)^r-rx-1≥0.
即(1+x)^r≥1+rx,当且仅当x=0时取等号.
2º 0<r>1时 f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r>0,
解得-1<x<0.∴f(x)在(-1,0)(0,+∞).
∴f(0)最大=0.∴f(x)=(1+x)^r-rx-1≤0.
即(1+x)^r≤1+rx,当且仅当x=0时取等号.
综上, r>1或r<0时, (1+x)^r≥1+rx;
0<r<1时, (1+x)^r≤1+rx.
当且仅当x=0时取等号.
构造函数f(x)=(1+x)^r-rx-1(x>-1).
1º r>1或r<0时 f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r>0,
解得x>0.∴f(x)在(-1,0)(0,+∞).
∴f(0)最小=0.∴f(x)=(1+x)^r-rx-1≥0.
即(1+x)^r≥1+rx,当且仅当x=0时取等号.
2º 0<r>1时 f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r>0,
解得-1<x<0.∴f(x)在(-1,0)(0,+∞).
∴f(0)最大=0.∴f(x)=(1+x)^r-rx-1≤0.
即(1+x)^r≤1+rx,当且仅当x=0时取等号.
综上, r>1或r<0时, (1+x)^r≥1+rx;
0<r<1时, (1+x)^r≤1+rx.
当且仅当x=0时取等号.