第一大专题：
数字黑洞
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黑洞数又称陷阱数,类具有奇特转换特性整数 任何数字全相同整数,经有限重排求差操作,总会得某或些数,些数即黑洞数重排求差操作即把组成该数数字重排得大数减去重排得小数。

运算类型：
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西绪福斯黑洞（123数字黑洞）
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数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的数字
黑洞的值：
设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，
例如：1234567890，
偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。
奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。
总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。
新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。
重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。
重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。
结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。

推广
一、任意N位数都会类似4位数那样归敛（1、2位数无意义） . 3位数归敛到唯一一个数495; 4位数归敛到唯一一个数6174; 7位数归敛到唯一一个数组（8个7位数组成的循环数组______称归敛组）；其它每个位数的数归敛结果分别有若干个，归敛数和归敛组兼而有之（如14位数____共有9×10的13次方个数____的归敛结果有6个归敛数，21个归敛组）. 以上提到的所有归敛结果（包括一个数字、一个数组或兼有）称为“卡普雷卡尔常数”.
“卡普雷卡尔常数”中的所有的数都是模9数（即都能被9整除以及其全部数字之和也是9的倍数！）
一旦进入归敛结果，继续卡普雷卡尔运算就在归敛结果反复循环，再也“逃”不出去。
归敛组中各数可以按递进顺序交换位置 （如a → b → c 或 b → c → a 或c → a → b)
归敛结果可以不经过卡普雷卡尔运算就能从得出.
某个既定位数的数，它的归敛结果的个数是有限的，也是确定的.
二、较多位数的数（命它为N）的归敛结果是由较少位数的数（命它为n,N>n）的归敛结果，嵌加进去一些特定的数或数组而派生形成. 4、6、8、9、11、13的归敛结果中的8个称基础数根.它们是派生所有任意N位数的归敛结果的基础.
1，嵌加的数分三类.
第一类是数对型，有两对：1)9，0 2)3，6
第二类是数组型，有一组：
7，2
5，4
1，8
第三类是数字型，有两个：
1) 5 9 4
2) 8 6 4 2 9 7 5 3 1
2，嵌入数的一部分嵌入前段中大于或等于嵌入数的最末一个数字的后邻位置。另一部分嵌入后段相应位置_____使与嵌入前段的数形成层状组数结构。
594只能嵌入n=3+3К 这类数。如9、12、15、18…….位.
3,(9，0）、（3，6）两对数可以单独嵌入或与数组型、数字型组合嵌入。
数组
7，2
5，4
1，8
必须“配套”嵌入并按顺序: (7，2）→（5，4）→（1，8) 或 (5，4）→（1，8）→（7，2)
或 (1,8) →（7,2) →（5,4）。
4，可以嵌如一次、二次或若干次 （则形成更多位数的归敛结果）.
任意N 位数的归敛结果都 “隐藏”在这N位数中，卡普雷卡尔运算只是找出它们而不是新造成它们.

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其他
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任意找一个3的倍数,先把这个数字每一个数位上的数都立方,再相加,得到一个新数,然后把这个新数的每一个数位上的数再立方,求和……重复运算下去，就得到一个固定的数T=______，请分析其原理。
～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～
过程：
T=153
　　数字黑洞问题是无法与哥德巴赫猜想相比,懂一点数论基础,就可以证明它.
　　这个数字黑洞问题早已经不是难题了,但要是题目严格证明起来1000个汉字以内是不够的,还是麻烦!只是麻烦,但不是难题
　　提供这个题的证明原理:
　　①如果一个数能被9整除,那么这个数所有位上的数字之和是9的倍数.
　　如;81与8+1,144与1+4+4.
　　②如果一个数能被3整除,那么这个数所有位上的数字立方之和是9的倍数.
　　利用(a+b)^3=a^3+3(a+b)ab+b^3及①就可以证明②.
　　③检验所有较小的数是否都有这个结论成立,(不论多少个数,它总归是有限个,不超过3×9×9×9)
　　④对于较大数,把它按照,法则运算一次,它相当变小,看看是否落在③的范围内……经过有限次运算,它落在③的范围内.
　　⑤它落在③的范围内,本题得证.

第二大专题：
蝴蝶效应
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最初提出
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美国气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorentz）1963年在一篇提交纽约科学院的论文中分析了这个效应。“一个气象学家提及，如果这个理论被证明正确，一只海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化。”在以后的演讲和论文中他用了更加有诗意的蝴蝶。对于这个效应最常见的阐述是：“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。他称之为混沌学。当然，“蝴蝶效应”主要还是关于混沌学的一个比喻。也是蝴蝶效应的真实反应。不起眼的一个小动作却能引起一连串的巨大反应。
这句话的来源，是这位气象学家制作了一个电脑程序，这个可以模拟气候的变化，并用图像来表示。最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只张开双翅的蝴蝶，因而他形象地将这一图形以“蝴蝶扇动翅膀”的方式进行阐释，于是便有了上述的说法。
“蝴蝶效应”的复杂连锁效应，每天都可能在我们身上发生，我们不可能回到以前去改变我们的过去来改变我们的未来，我们需要的是正确地把握我们的当前，也许，以后的结果就会趋向于好的方面，而走错一步你可能短时间无法发现，但是几十年后断送的，就不仅是你的未来，而是更多。

线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动;而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6～10倍！这就是非线性：1+1不等于2。非线性的特点是：横跨各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌;电、光与声波的振荡，会突陷混沌;地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：由此可见，非线性就在我们身边。
　　从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就开始广为人知。
（图为罗伦斯吸引子——蝴蝶效应的理论基础）

第三大专题：
数论
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数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

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发展历史
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数论早期称为算术。到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示“基本运算”，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用“算术”一词来表示数论。1952年时数学家Harold Davenport仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”。
公元前300年，古希腊数学家欧几里证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。
数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。
内容是寻找素数通项公式为主线的思想，开始由初等数论向解析数论和代数数论转变，产生了越来越多的猜想无法解决，遗留到20世纪，许许多多的困难还是依赖素数通项公式，例如黎曼猜想。如果找到一个素数通项公式，一些困难问题就可以由解析数论转回到初等数论范围。

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数论的几颗“明珠”
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费马大定理
孪生素数问题
哥德巴赫猜想
圆内整点问题
完全数问题
●哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？
●孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？
●是否存在无穷多的梅森素数？（指形如2p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数）
●1995年怀尔斯和理查·泰勒证明了历时350年的费马猜想（费马大定理）。
●黎曼猜想

链接～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 数学·包含学科
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注：学科前数字为国家标准学科代码

推荐～ 数学与魔术（截图自网易公开课）