最近我在不等式研究中的一些进展

（1）
若a、b、c为非负实数且a+b+c=3，求证：
3/(1+k)<=a/(1+kab)+b/(1+kbc)+c/(1+kca)<=3。
其中，k=2^(-2/3)。
（原帖有取等条件，这里不给出，请看原帖）
（2）
若a、b、c为非负实数且a^2+b^2+c^2=3，求证：
sqrt(3)/4<=a/(4+b^2)+b/(4+c^2)+c/(4+a^2)<=3/5。

（3）
若a、b、c为非负实数且ab+bc+ca<>0（这等价于：a、b、c中至多一个0。下同），求证：
a/(a^2+8b^2)+b/(b^2+8c^2)+c/(c^2+8a^2)>=1/(a+b+c)。
（那里网友arqady给出一个证法，参见：http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1152742p5474210）
上题的变化：
同条件下，求证：
a/(a^2+7ab+b^2)+b/(b^2+7bc+c^2)+c/(c^2+7ca+a^2)>=1/(a+b+c)。

（4）
若a、b、c为非负实数且ab+bc+ca<>0，求证：
18a^3/(13a^2+5b^2)+18b^3/(13b^2+5c^2)+18c^3/(13c^2+5a^2)>=a+b+c。

（5）
若a、b、c为非负实数且ab+bc+ca<>0，求证：
5a/(4b^2+41ca)+5b/(4c^2+41ab)+5c/(4a^2+41bc)>=1/(a+b+c)。
同结构的另一个结果：
16a/(97b^2+47ca)+16b/(97c^2+47ab)+16c/(97a^2+47bc)>=1/(a+b+c)。

（6）
若a、b、c为非负实数且ab+bc+ca<>0，求证：
a/(4b-c)^2+b/(4c-a)^2+c/(4a-b)^2>=1/(a+b+c)。
加强：
同条件下，求证：
196a/(19b-5c)^2+196b/(19c-5a)^2+196c/(19a-5b)^2>=9/(a+b+c)。

先发这六个，待有时间再来。