拓扑绝缘体是一种新的量子物态 。传统上固体材料可以按照其导电性质分为绝缘体和导体 ，
其中绝缘体材料在其费米能处存在著有限大小的能隙 ，因而没有自由载流子 ；
金属材料在费米能级处存在著有限的电子态密度 ，进而拥有自由载流子 。
而拓扑绝缘体是一类非常特殊的绝缘体 ，从理论上分析，这类材料的体内的能带结构是典型的绝缘体类型 ，
在费米能处存在著能隙 ，然而在该类材料的表面则总是存在著穿越能隙的狄拉克型的电子态 ，
因而导致其表面总是金属性的 。拓扑绝缘体这一特殊的电子结构 ，
是由其能带结构的特殊拓扑性质所决定的 。拓扑绝缘体研究现状 ：
第一代，HgTe量子井
第二代，BiSb 合金
第三代，Bi2Se3，Sb2Te3，Bi2Se3 等化合物

一、能带理论
绝缘体：不善于传导电流的物质

晶格周期性势场中运动粒子的薛定谔方程

Bloch定理： ， 具有晶格周期性 。
能谱结构
近自由电子近似：，E ∝k² 抛物线型的能量色散关系。

石墨烯的电子结构：二维无质量的狄拉克费米体系
对拓扑绝缘体来讲，其性质与其能带拓扑结构有关 ，与具体细节无关。
导体和绝缘体的能带示意图
其中 （a）为导体，（b） 为普通绝缘体，(c) 为量子霍尔绝缘体，(d) 为时间反演不变的拓扑绝缘体 。图中黑色实线代表费米面 ，虚线代表边缘态，对于绝缘体来说，费米面处在禁带之中 。当样品有边界时，禁带之间存在着受到拓扑保护的边缘态 。如 (c) 和 (d), 这些边缘态连接体系的价带顶和导带底 。

二、拓扑绝缘体 与 量子霍尔效应、量子自旋霍尔效应
人们在研究强磁场中的二维电子气时 ,发现它的横向霍尔电导在外磁场改变时会在e²/h 的整数倍处出现平台 （von Klitzing 1980）。强磁场限制了QHE的实际应用人们开始思考利用电子的自旋自由度在无外加磁场的情况下实现 QHE即不同自旋方向的载流子在空间上实现分离 ，从而实现零磁场下的霍尔效应 量子自旋 霍 尔 效 应QSHE。2005年和2006年Kane和张首晟等人分别预言利用电子的自旋－轨道耦合在零磁场下保持时间反演对称性 QSHE态
即可实现而实现它的体系就是二维拓扑绝缘体 。


边缘态
无隙手性边缘模式，如下图所示：

有效场理论：
拓扑绝缘体的边缘态示意图：
二维拓扑绝缘体
QSHE态和QHE态类似不管边缘态能带的形状发生什么变化费米面始终会穿过它体现了拓扑不变性 。


量子自旋霍尔效应
在能隙QSHE的边缘态二维拓扑绝缘体的能带结构两支边缘态自旋方向不同始终穿过费米能级内两支自旋取向不同的边缘态从导带一直延伸到价带并在k = 0 处相交在交点处自旋简并。在交点附近能量与动量关系是线性的即Ek。

另外虽然QSHE的边缘态同时具有向前和向后的通道，但非磁性杂质引起的背散射，仍然是禁止的。这是因为受时间反演对称性的要求动量相反的电子其自旋取向也相反。非磁杂质散射不能翻转自旋而破坏时间反演对称性因而不能引起背散射。
2006 年张首晟的研究组独立地提出了一种实现QSHE的一般理论，并预言了HgTe/CdTe超晶格结构可以实现QSHE。时间反演不变的量子自旋霍尔系统的边缘态存在两个通道因此中间层能带反转材料HgTe起主要作用只有边缘态参与了导电从而证实了它是二维的拓扑绝缘体。

从二维到三维拓扑绝缘体
2007 年Kane预 言 二 元 铋 锑 合 金 Bi(1-x)Sbx。0.07 < ｘ < 0.22 是一种三维拓扑绝缘体称为强拓扑绝缘体 。三维拓扑绝缘体体态是绝缘的界面上具有二维的表面态无能隙 。在其表面态的布里渊区中存在 4个时间反演对称点这些特殊点上会出 现Kramers 并形 成 狄 拉 克 锥Dirac Cone结构。狄拉克锥的顶点称为狄拉克点狄拉克点附近能量与动量之间的色散关系是线性的由狄拉克方程所描述 。由于自旋－轨道耦合三维拓扑绝缘体表面态的自旋始终垂直于动量方向且无简并。受时间反演对称性保护动量相 反 表 面 态 之 间 的 散 射 是 禁 止 的。2008 年Hasan研究组利用角分辨光电子能谱 ARPES研究了 Bi(1-x)Sbx 的表面态发现在Γ-M 之间表面态与费米能级相交为奇数次并且表面态是自旋极化的 证明了Bi(1-x)Sbx 是三维拓扑绝缘体。

自旋轨道耦合引起了能带反转，以及材料表面的狄拉克型费米子。
；
实验实现 : HgTe/CdTe量子阱 ； 实验实现： Bi1-xSbx ，Bi2Se3 ，Bi2Te3

四、拓扑超导体中 Majorana 费米子

在拓扑绝缘体与ｓ波超导的界面上由于近邻效应可形成拓扑超导体此时体系电子自由度减小一半可承载Majorana费米子．这为实验上 观 测 这 一 神 秘 的 粒 子 提 供 了 可 能 性。2008年Kane等人提出了在拓扑绝缘体与普通超导体的界面处有可能产生Majorana费米子。由于近邻效应库伯对可以隧穿到拓扑绝缘侧在表面诱导出超导能隙。由于表面态是自旋分辨的拓扑绝缘体表面形成的二维的超导态的超导态类似在其涡旋中心将产生零能量的Majorana费米子态。所不同的是它并不破坏时间反演对称性且其库伯对满足偶宇称因此它不会由于微小扰动而使量子态退相干（roubust）从而导致计算错误这使得拓扑绝缘体可以用于容错量子计算。

BCS 平均场论：
二次量子化：BdG方程

Bogoliubov de Gennes 哈密顿量

电子 - 空穴对称性： ，
时间反演对称性：，
幺正 （手征） 对称性： ，
准粒子冗余：

2 D p-波 (无自旋) 超导体中出现手征Majorana费米子


拓扑绝缘体表面态接触于标准的超导体产生邻近配对 = 2 D 拓扑超导体
Nambu表象 基：

超导邻近效应：
作基变换：
变为
一维Z_2拓扑超导体：(Kitaev, 2000)

总结
拓扑绝缘体的基本性
(1)Massless 2 D Dirac Equation

(2)Boundary/Surface

(3)Time Reversal Symmetry (robust)

未来的应用 （后摩尔时代的信息技术）
低能耗和高速晶体管
自旋电子学器件
拓扑量子计算
基于拓扑磁电效应的磁存储器件
热电效应、催化与能源技
前沿科学研究
量子反常霍尔效应/自旋霍尔效应
磁单极
Majorana费米子
分数量子统计 (Anyon)
拓扑磁性绝缘体Axion

******8楼内容更正重发**********
BCS 平均场论：
二次量子化：BdG方程

Bogoliubov de Gennes 哈密顿量

电子 - 空穴对称性： ，
时间反演对称性：，
幺正 （手征） 对称性： ，
准粒子冗余：

上面提到的准粒子冗余，称为Bogoliubov准粒子-空穴冗余：

其数学上体现为

顶一下，突然发现宝藏贴