数学各分支介绍(转载)
数论
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要,数的概念进一步扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说,任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性。比如,整数可分为两大类—奇数和偶数(通常被称为单数、双数)等。利用整数的一些基本性质,可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅力,吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展,就叫做数论了。确切的说,数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来,数学家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代,许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献,使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中,人们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题,一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末,历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成,写了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时现存的定理系统化并进行了推广,把要研