数列的规律 - 等差、等比数列

【理论指导】

【数列的常见类型】
[大类]
常数数列(等差等和)：2，2，2，2，2 ... (全部相同)
等差数列：5，12，19，26，33 ... (后一项减前一项等于7)
等比数列：5，10，20，40，80 ... (后一项除以前一项等于2)
二级等差数列：3，7，12，18，25 ... (后一项减前一项之后是一个等差数列[4，5，6，7])
摆动数列(等和)：2，-2，2，-2，2 ... (忽大忽小)
和差数列(简单递推)：1，3，4，7，11 ... (前两项相加等于第三项)
双重数列：2，1，4，3，6，5，8 ... (可交叉拆分成：[2，4，6，8]和[1，3，5])
回文数列(对称数列)：1，2，3，2，1
周期数列：1，2，3，1，2，3
质数数列：2，3，5，7，11
[小类]
自然数数列(等差数列)：1，2，3，4，5 ... n
奇数数列(等差数列)：1，3，5，7，9 ... 2n-1
偶数数列(等差数列)：2，4，6，8，10 ... 2n
双同数列(双重数列)：1，1，3，3，5，5，7，7 ...
位数递增(二级等比数列)：2，22，222，2222，22222 ...
切大饼数列(二级等差数列)：1，2，4，7，11 ... n(n+1)/2+1
三角形数列(二级等差数列)：1，3，6，10 ... n(n+1)/2
平方数列(二级等差数列)：1，4，9，16 ... n^2
立方数列(三级等差数列)：1，8，27，64，125 ... n^3
幂次数列(等比数列)：1，2，4，8，16，32，64 ... 2^n
幂数列(?)：1，4，27，256，3125 ... n^n
累加数列(二级等差数列)：1，3，6，10，15 ... 即：1，2，3 ... 前n项的和1，1+2，1+2+3 ...
阶乘数列(比值等差数列)：1，2，6，24，120 ... 即：1，2，3 ... 前n项的积1!，2!，3! ...
累积平方(等幂数列)：2，4，16，256，65536 ... 2^(2^i)
斐波那契数列(和差数列)：1，1，2，3，5，8，13 ...
大衍数列(差值双同数列)：0，2，4，8，12，18 ...

【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差(d)。等差数列对应直线函数：y = kx + b
通项公式：an=a1+(n-1)d
通项公式(中文版)：第n项 = 首项+公差×(项数-1)
前n项和公式：Sn=n·a1+n(n-1)d/2
前n项和公式(中文版)：项数×首项+(首项+尾项)×项数÷2
【等差数列的相关工具】
常数数列检测工具：判断数列是否完全相同
输入 [2,2,2,2]完全相同
输出 <是>
输入 [2,1,2,2]完全相同
输出 <否>
差值(差分)工具是求一个数组中，相邻的数字两两相减所得的新数组。例如：[1, 3, 7, 8]的差值 = [3-1, 7-3, 8-7] = [2, 4, 1]
同样的道理可以再创建和值、积值、比值工具
定义：{a}的差[值分]
a --> i>0, v - a.i
-----------------------------------------
定义：{a}的和值
a --> i>0, v + a.i
-----------------------------------------
定义：{a}的积值
a --> i>0, v * a.i
-----------------------------------------
定义：{a}的比值
a --> i>0, v / a.i
输入 [1, 3, 7, 8]的差值
输出 [2, 4, 1]
输入 [6, 8, 10, 12]的差值
输出 [2, 2, 2]
-----------------------------------------
斐波那契数列的差值规律 (错位)
输入 [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]的差值
输出 [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]
差值完全相同的数列是等差数列
输入 ([6, 8, 10, 12]的差值)完全相同
输出 <是>
利用公式生成等差数列
输入 5 -> 2 + I*3
输出 [5, 8, 11, 14, 17]
输入 首项=2, 公差=3, 数量=7 // 按公式生成7个
数量 -> 首项 + I * 公差
输出 [5, 8, 11, 14, 17, 20, 23]
求数列前n项的和
输入 ([1,2,3,4,5,6]的前3个)的总和 // 1+2+3=6
输出 6

【二级等差数列】
如果一个数列的差值是等差数列，那么这个数列是二级等差数列。二级等差数列对应二次函数：y = ax2+bx+c
以3，7，12，18 ，25为例，做了两次差值运算之后，可得到常数数列，因此是二级等差数列
输入 [3，7，12，18 ，25]的差值 // 第一次差值
输出 [4, 5, 6, 7]
输入 [4, 5, 6, 7]的差值 // 再做差值
输出 [1, 1, 1]
通项公式：an=a1+(a2-a1)(n-1)+(a3-2a2+a1)(n-1)(n-2)/2
通项公式(中文版)：第n项 = 首项+(第二项-首项)×(项数-1) + 公差×(项数-1)×(项数-2)÷2
前n项和公式：Sn=n*(4*a1-2*(a1-a2)*(n-1)+(a1-2*a2+a3)*(-3*n+(n+1)*(2*n+1)/3+1))/4
(二级前n项和的公式我在网上搜了半天也没找到，因为后面会用到，所以就自己推导了一下)
通项公式如何推导？
[3, 7, 12, 18, 25]的差值数列是[4, 5, 6, 7]
差值数列的前n项和组成累加数列[4, 4+5, 4+5+6, 4+5+6+7]=[4, 9, 15, 22]
而累加数列的每一项都加3，[4+3, 9+3, 15+3, 22+3]，刚好就变成原数列3之后的[7,12,18,25]，3是原数列的第一个
根据这个规律可知：数列a的第n个 = a的第一个 + a的差值数列的前(n-1)项之和，由此便可以推导出二级通项公式来
【相关工具】
差值堆工具 - 一个数列逐层做差值，直到完全相同或只剩一个为止
由差值堆可以明显看出某个数列是否是二级等差数列，甚至可以看出3级、4级、n级等差数列

【三级等差数列】
如果一个数列做两次差值运算，可得到一个等差数列，那么这个数列是三级等差数列。三级等差数列对应三次函数：y=ax^3+bx^2+cx+d
通项公式：a1-(n-1)*(12*a1-12*a2-6*(n-2)*(a1-2*a2+a3)+(n*(2*n-1)-9*n+12)*(a1-3*a2+3*a3-a4))/12
(这个也是网上找不到，自己推导的，同样利用了：数列a的第n个 = a的第一个 + a的差值数列的前(n-1)项之和)
输入 [1， 10， 31， 70， 133]的差值堆
输出 数组 [4]
1．[6, 6] <- 这一层的差值是完全相同的
2．[12, 18, 24]
3．[9, 21, 39, 63]
4．[1, 10, 31, 70, 133]
多级等差数列的原理和三级是一样的，因为不常用，行测也最多到三级，所以就不详细讨论了。

【等差数列的通用分析工具】
可以利用这个工具反推任意多项式生成数列的公式(目前只支持到三级)
化简式、展开式工具都是利用了python的数学工具进行符号运算，可以把任意一个多项式按规则化简成唯一的形式

【例】
输入 [1，3，6，11，19，31]的差值堆
输出 数组 [4]
1．[1, 1, 1] <- 这里看出它是三级等差数列
2．[1, 2, 3, 4]
3．[2, 3, 5, 8, 12]
4．[1, 3, 6, 11, 19, 31]
输入 [1，3，6，11，19，31]的差值分析
输出 字典 [6]
后五项: [31, 48, 71, 101, 139]
前项: [1, 3, 6]
公式: "1-(n-1)*(12*1-12*3-6*(n-2)*(1-2*3+6)+(n*(2*n-1)-9*n+12)*(1-3*3+3*6-11))/12" <-这个是把数值代入到原始的通项公式
公差: 1
化简式: "n^3/6 - n^2/2 + 7*n/3 - 1" <-这个是最终推导出的公式
类型: "三级等差"

【测试】
随便写个带小数的数列试试 (公式：2.08*n^2 - 9.5)
[-7.42, -1.18, 9.22, 23.78, 42.5]

可见，这种方法反推出的是精确的公式，和拟合公式是不同的。(如果是无限小数，需要加入几句精确度宽容的代码，也可以反推公式的)
再试一个

【关于拟合工具】
拟合工具是利用最小二乘法，误差最小化的原理，是目前主流的方法
多项式拟合工具是用于模仿任意函数曲线，所以直接无法判定给出的数列是二次还是三次多项式生成的，不过可以逐个去试。
这个是对之前的测试数列用拟合工具推出的公式，虽然给出的是小数格式，去掉细微的误差，也算是精确拟合了
拟合工具的优点是可以不必输入连续的数列，比如已知数列的第3,7,8,10,19项的值，这样也能做拟合
缺点是无法分析规律的细节，对于较少的参数或多种函数的组合就很难做精确的推算了

【等比数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的商等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比(q)。等比数列对应指数函数：y=a^x
通项公式：an = a1*q^(n-1)
通项公式(中文版)：第n项 = 首项×公比^(项数-1)
前n项和公式：a1(1-q^n)/(1-q)
这是两个典型的等比数列：
当n = 1,2,3,4,5...时
2的n次方：2, 4, 8, 16, 32 ←后一个数都是前一个数的两倍
3的n次方：3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561 ←a2是a1的3倍
n级等比数列不能直接用差值堆来分析，但可以使用比值工具配合差值堆分析
输入 [3, 9, 27, 81, 243]的比值
输出 [3, 3, 3, 3] ←等比数列的比值都是相同的
2^n的差值堆是有规律的
输入 [2, 4, 8, 16, 32]的差值堆
输出 数组 [5]
1．[2]
2．[2, 4]
3．[2, 4, 8]
4．[2, 4, 8, 16]
5．[2, 4, 8, 16, 32]
3^n的差值堆，每行都是等比数列，公比都是3
输入 [3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561]的差值堆
输出 数组 [8]
1．[384]
2．[192, 576]
3．[96, 288, 864]
4．[48, 144, 432, 1296]
5．[24, 72, 216, 648, 1944]
6．[12, 36, 108, 324, 972, 2916]
7．[6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374]
8．[3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561]

【分析等差、等比数列的通用工具】
增加了一个“判断等比”工具，简单的定义为如果数列的比值相同则true
每一步差值之后先判断是否等比，再进行下一步差值

【多级等比数列】
如果一个数列的差值是等比数列，那么这个数列是二级等比数列

测试了几个例子

这些数列大部分都是线性递推数列：
常数数列：2，2，2，2，2 (1)
等差数列：5，12，19，26，33 (2,-1)
等比数列：5，10，20，40，80 (2)
二级等差数列：3，7，12，18，25 (3,-3,1)
摆动数列(等和)：2，-2，2，-2，2 (-1)
和差数列(简单递推)：1，3，4，7，11 (1,-1)
双重数列：2，1，4，3，6，5，8 (1,1,-1)
回文数列(对称数列)：1，2，3，2，1 (无)
周期数列：1，2，3，1，2，3 (0,0,1)
质数数列：2，3，5，7，11 (无)
小类中只列出非线性递推数列：
幂数列：1，4，27，256，3125 ... n^n (无)
阶乘数列(比值等差数列)：1，2，6，24，120 (无)
累积平方(等幂数列)：2，4，16，256，65536 (无)
括号内数字的意思参考 h t t p : / / o e i s . o r g / w i k i / I n d e x _ t o _ O E I S : _ S e c t i o n _ R e c

【待定系数法】
在已知多项式项数的情况下，可以用待定系数法反推公式
以前面的 6*n^2 - 8*n - 30 为例
生成的数组为 [-32, -22, 0, 34, 80]，n分别是[1,2,3,4,5]
假如已知或猜测数组为二次多项式，可以代入 y = ax^2+bx+c 的公式，求a,b,c