是英文题，原题是这个
2. Prove that if G is k-regular with even number of vertices and is (k-1)-edge-connected, then G has a perfect matching

自己翻译的不知道正确与否

直接抄Petersen定理的证明就可以了。
假设从原图中去掉顶点集V，剩下一些含有奇数个顶点的连通片O.现在要证明O的个数<|V|.

O中所有点的度数在O中的度数之和是偶数。
O中所有点的度数在原图中的度数之和在k是奇数的时候为奇数，在k是偶数的时候为偶数（因为O含有奇数个顶点）
∴O与V相连的边数在k是奇数的时候为奇数，在k是偶数的时候为偶数。①
因为原图的连通度为k-1
所以相连的边数≥k-1
又由①的奇偶性限制，相连的边数≠k-1
∴相连的边数≥k
在最好（最有可能否定Tutte条件的）的情况下，每个O平均对应着V中的一个顶点，即，去掉N个顶点就能得到N个含有奇数个顶点的连通片O：

而此时Tutte条件也是成立的。
因此原图存在一个完美匹配，即含有偶数个顶点的，连通度为k-1的k正则图有一个完美匹配。

谢谢！zhegezhendekeyi