我试用我自己的思路和语言表达一下。
设 x 为正实数, 显然
[ x ] ≤ x < [ x ] + 1
记 a = [ x ] , b = [ x ] + 1
a 与 b 的中点为 c1
c1 = (a+b)/2 = { [ x] + ( [ x ] + 1) } / 2 = [ x ] + 1/2
显然,
x 在 [ a, c1 ] 或者 [ c1, b ] 上。
若 x 在 [ a, c1 ]上, 同样分析,知
x 在 [ a, c2 ] 或者 [ c2, c1 ] 上。
其中, c2 = [ x ] + 1/2^2
一直这样细分下去,
无论 x 是 落在区间中点的左侧还是右侧, 都有以下的结果
[ x ] + 1/2^n1 ≤ x < [ x ] + 1/2^n2
[ x ] + 1/2^n = { [ x ] * 2^n } /2^n = m / 2^n
其中, m = { [ x ] * 2^n }
因此, x 一直在两个形式为 m / 2^n 的有理数之间, 而且随着不断地细分下去, 这两个形式为 m / 2^n 的有理数之间越来越逼近聚点 x , 即以 x 为极限。
所以 x 可以表达为形式为 m / 2^n 有理数的极限。
我自己瞎编的, 不知道对不对。