求救！

我觉得这是不是误解了实数完备性。实数的完备性跟一阶逻辑的完备性不同。

是啊，实数的完备性数学上一般指实数的致密性。就是收敛的实数序列收敛到的数也是实数（不像有理数可能收敛到无理数，所以有理数需要扩充成实数才"完备"）。
这和数理逻辑的完备概念不同：
理论完备 <=> 如果对于其语言中的任何一个句子S，这个理论包括且仅包括 S或~S两者之一。
哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。
实数系统并不因此不包含皮亚诺，个人觉得应该说实树作为自然数的超集必然包含的，或者说与之相容（consistent）的。但这也应该说明实数在逻辑意义上也继承了自然数的不完备性。
总之应该是两个不同的完备性概念。