@沉重侠QZB (ಥ_ಥ)连这么简单的题都不会的我

其实文科数学难题少_(:з」∠)_这样的题不会说明我对基础知识的理解不好

奥吧的大佬？

第二问的话，设C1, C2圆心分别为O, P。设T的极坐标为(1,θ)。
过T点的切线与C2相交于两不同点M和N，所以0<θ<π。（此处需要证明，可以考虑转换成直角坐标用点到直线距离公式解决）
T在C2外时，设过T, P的直线交C2于M', N'，不妨令|TM'|<|TN'|，则|TM|·|TN|=|TM'|·|TN'|=(|TP|-1)(|TP|+1)=|TP|^2-1。
T在C2上时，显然有|TM|·|TN|=0。
T在C2内时，设过T, P的直线交C2于M', N'，不妨令|TM'|<|TN'|，则|TM|·|TN|=|TM'|·|TN'|=(1-|TP|)(1+|TP|)=1-|TP|^2。于是|TM|·|TN|=||TP|^2-1|。
△OPT中，由余弦定理|TP|^2=|OP|^2+|OT|^2-2|OP||OT|cos(π/2-θ)=2-2cos(π/2-θ)
于是|TM|·|TN|=|1-2cos(π/2-θ)|
0<θ<π时，-π/2<π/2-θ<π/2, 0<cos(π/2-θ)<1, -1<1-2cos(π/2-θ)<1。
综上0≤|TM|·|TN|<1。

究极学渣路过