我这出了点问题。。。不知道为什么无限被吞

在这个领域一个更重要的概念是函子，我们之后很快就会定义它。范畴之所以重要是因为他们是定义函子的必经之路。另一个相似的例子出现在线性代数中：线性变换是比线性空间更重要的概念，但是必须借由线性空间来定义。
下面的例子会解释范畴定义的几个合理之处。
例1.3
(i)集合。范畴中的对象是集合（不是非平凡类），态射就是函数，复合法则就是正常的函数乘法。
在集合论中有一条公理是说如果A和B都是集合，那么所有从A映到B的函数的集合Hom（A,B）也是一个集合。Hom集合逐点不交的性质恰恰是函数相等的定义的一个反映。函数相等的定义是：两个函数有相同的定义域，值域和映射方式。举个例子，如果U⊊X是集合X的真子集，那么内射 U—→X是与恒等映射1_U不同的，因为它们值域不同（***不是废话么——译者注）。如果f：A→B和g：C→D是函数，我们定义复合函数gf：A→D如果B=C。相反地，在分析学里，我们经常说当B⊆C就可以定义gf。你们这些搞分析的人还是naïve,对我们来说，gf是未定义的，而如果有i：B→C，那么gif是良好定义的。

(vii)Top.对象是所有的拓扑空间,态射是连续函数,复合法则是正常函数的复合.为了验证Top是范畴,注意到恒等映射是连续的,并且和恒等映射复合的连续映射是连续的.