个人目前进度：p>=0的情况略
p=-a<0时，考虑级数收敛必要条件，即sin(1/n^p)->0
若a在(0,1],则n^a的增长是缓慢的,即Δ(n^a)=o(1),Δ是(一阶且步长为一的)差分算子
从而必然有n^a/pi mod 1在(0,1)稠密,从而不收敛

曾经看到过这个
wwwzhihucom/question/68058166/answer/259259945

thumbnail10baidupcscom/thumbnail/1bdb4eb8c13c2542399341a1dd32a56a?fid=1242757637-250528-659153646002123&rt=pr&sign=FDTAER-DCb740ccc5511e5e8fedcff06b081203-B8iq%2f2QDQeZ4j6uwNmzBnJMgqgY%3d&expires=8h&chkbd=0&chkv=0&dp-logid=4893862005266683182&dp-callid=0&time=1532966400&size=c10000_u10000&quality=90&vuk=1242757637&ft=image

thumbnail10点baidupcs点com斜杠thumbnail斜杠61c0fe6a5959a32deb7675ab5137e1b8?fid=1242757637-250528-1112885649786093&rt=pr&sign=FDTAER-DCb740ccc5511e5e8fedcff06b081203-7Ko1emtETBiktx%2bq7iMfeaNUBmc%3d&expires=8h&chkbd=0&chkv=0&dp-logid=4893862005266683182&dp-callid=0&time=1532966400&size=c10000_u10000&quality=90&vuk=1242757637&ft=image

根据139dalao发的知乎链接可以得到，在a=Q+的情况也是解决的（woc这么简单我怎么没想到）
于是目前是(1,+oo)上的无理数并没有结果的样子
链接里面提到的更进一步的结果需要翻墙的样子，并不会翻墙（
但是看语境似乎是个open problem么……如果是的话就坑爹Zorich了

无法（力）回答这题您知道的比我多了 ..{sin(n^-2)}的稠密性已经很难懂

如果对无理性问题有兴趣的话可以看看http://tieba.baidu.com/p/5819433755的21楼的一道题

VAN DER CORPUT’S DIFFERENCE THEOREM ：SOME MORDEN DEVELOPMENTS
的Corollary 2.7.回答了这个问题……
主体思想仍是差分，但是这次有了强大的DT定理……