余数问题专题讲解
余数定理掌握的如何？418×814×1616除以13所得的余数是多少？会吗？是不是看起来好像很复杂？
有难度的余数问题，你对余数定理掌握的如何？可以熟练应用吗？大家好我是小梁老师，这节课我们来学习余数问题。
常用余数定理:
(1)如果两个整数a，b被自然数c除有相同的余数，那么(a-b)能被c整除。
(2)a，b两数的和被m除的余数等于a，b两数分别被m除所得余数的和，即和的余数等于余数的和。
(3)差的余数等于余数的差。
(4)积的余数等于余数的积。
难题点拨①
有一个整数，用它去除160，110，70得到的三个余数之和是50，则这个整数是________。
解题分析：“被除数一余数＝商×除数”则有“被除数之和”减“余数之和”等于“商之和×除数”，故将被除数之和减去余数之和所得的差分解质因数，再检查看得到的质因数中哪一个符合题意，则其即是所求答案。
因为70+110+160-50＝290
所以290肯定是这个数的倍数。
因为三个余数的和为50，
所以这个整数小于50。
因为290＝29×10
验算:如果这个整数为10，没有余数
如果这个整数为29，则
160÷29＝5……15，110÷29＝3……23，70÷29＝2………12
余数的和为:15+23+12＝50
所以这个数为29。
想一想做一做以下对应题目：
1.用自然数n去除63，91，129，得到的三个余数之和是25，那么n是多少?
2.ー个自然数用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和是25。这三个余数中最小的一个是多少?
难题点拨②
418×814×1616除以13所得的余数是________。
解题分析：要求乘积418×814×1616除以13所得的余数，根据余数的定理，可以分别求出418，814和1616除以13所得的余数，然后再求余数的乘积除以13的余数，即可得解。
418÷13＝32…2，
814÷13＝62…8，
1616÷13＝124…4
2×8×4=64
64÷13＝4……12
418×814×1616除以13所得的余数是12。
想一想做一做以下对应题目：
1.15×38×412×541除以13所得的余数是多少?
2.31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少?
难题点拨③
用一个大于0的自然数，分别去除35，59和123，所得的余数相同，则这个数是________。
解题分析：根据同余定理知:35，59和123这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的公因数;然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数。
123-59=64=2×2×2×2×2×2
123-35=88=2×2×2×11
59-35=24=2×2×2×3
这三个差的公因数有:1，2，2×2＝4，2×2×2＝8，其中1不符合题意舍去。故答案为:2或4或8。
想一想做一做以下对应题目：
1.三个数23，51，72，分别除以同一个大于1的自然数，得到同一个余数，则这个除数是多少？
2.一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是多少？
3.学校买来101个乒兵球，67个乒乓球拍和3个乒乓球网。如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同。那么，这个学校应有多少个班。(班数大于1)
难题点拨④
乙个数除以5余3，除以6余4，除以7余1。求适合条件的最小数？
解题分析：我们假设给这个数减少8，那么问题就变为:一个数能被5整除，能被7整除，除以6余2，求适合条件的最小数。
因为这个数能被5和7整除，而且除以6余2，所以我们可以在5和7的公倍数中找除以6余2的数：
5和7的公倍数:35，70，105，140……
除以6余2的数：×，×，×，√……
5和7的公倍数140就是除以6余2的数，适合条件的最小数就是140。所以原题的答案就是140+8＝148。
想一想做一做以下对应题目：
1.有一个数，被3除余2，被4除余2，被5除余3，这个数最小是多少?
2.一个自然数被3除余2，被5除余1，被7除余5。求满足这些条件的最小自然数。
3.一个自然数被3除余1，被5除余3，被7除余5，被11除余3。求满足这些条件的最小自然数。
本节课所有练习题答案如下：
难题点拨1想一想做一做
1.自然数n去除63，91，129都有余数，如果用这三个数减去各自的余数，这样这三个数就可以被整除。这三个数的和也一定能被整除，然后把这三个数的和减去余数之和所得的差分解质因数即可解答。具体如下:
①(63+91+129)-25＝258;
②258能被n整除，把258分解质因数是:
258＝2×3×43，因为余数的和为25，而余数不可能大于除数，所以除数不可能是2或者3，所以只能是n＝43。
2.设这个自然数为x，且去除63，90，130所得的余数分别为a，b，c，则63-a，90-b，130-c都是x的倍数。于是(63-a)+(90-b)+(130-c)＝283-(a+b+c)＝283-25＝258也是x的倍数。又因为258＝2×3×43。则可能是2或3或6或43(显然，86，129258不符合题意应舍去)，因为a+b+c＝25，故a，b，c中至少有一个要大于8(否则a，b，c都不大于8，就推出a+b+c不大于24，这与a+b+c＝25矛盾)。根据除数必须大于余数，可以确定x＝43，从而a＝20，b＝4，c＝1。显然，1是三个余数中最小的。
难题点拨2想一想做一做
1.①15÷13＝1……2；
②38÷13＝2…12；
③412÷13＝31……9;
④541÷13＝41……8;
⑤2×12×9×8＝1728，1728÷13＝132…12，所以15×38×412×541除以13的余数是12。
2.31453÷4＝7863…1
68765÷4＝1719……1
987657÷4＝246914……1
1×1×1＝1所以31453×68765×987657的积除以4余数是1。
难题点拨3想一想做一做
1.51-23＝28，72-51＝21，72-23＝49，(28，21，49)＝7，所以答案为7
2.19
3.设有x个班。每种物品都剩下m个。这样，x可以整除(101-m)、(67-m)、(33-m)这三个数，所以也可以整除这三个数里任意两个数的差。即x还可以整除.(101-m)-(67-m)＝34，(101-m)-(33-m)=68。可以同时整除34和68的数有1，2，17，34，检验知1，2，17符合题目中的条件。但班数大于1，所以只有2，17符合题意。
难题点拨4想一想一做一做
1.38
2.26
3.1048
余数定理掌握的如何？418×814×1616除以13所得的余数是多少？会吗？是不是看起来好像很复杂？
有难度的余数问题，你对余数定理掌握的如何？可以熟练应用吗？大家好我是小梁老师，这节课我们来学习余数问题。
常用余数定理:
(1)如果两个整数a，b被自然数c除有相同的余数，那么(a-b)能被c整除。
(2)a，b两数的和被m除的余数等于a，b两数分别被m除所得余数的和，即和的余数等于余数的和。
(3)差的余数等于余数的差。
(4)积的余数等于余数的积。
难题点拨①
有一个整数，用它去除160，110，70得到的三个余数之和是50，则这个整数是________。
解题分析：“被除数一余数＝商×除数”则有“被除数之和”减“余数之和”等于“商之和×除数”，故将被除数之和减去余数之和所得的差分解质因数，再检查看得到的质因数中哪一个符合题意，则其即是所求答案。
因为70+110+160-50＝290
所以290肯定是这个数的倍数。
因为三个余数的和为50，
所以这个整数小于50。
因为290＝29×10
验算:如果这个整数为10，没有余数
如果这个整数为29，则
160÷29＝5……15，110÷29＝3……23，70÷29＝2………12
余数的和为:15+23+12＝50
所以这个数为29。
想一想做一做以下对应题目：
1.用自然数n去除63，91，129，得到的三个余数之和是25，那么n是多少?
2.ー个自然数用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和是25。这三个余数中最小的一个是多少?
难题点拨②
418×814×1616除以13所得的余数是________。
解题分析：要求乘积418×814×1616除以13所得的余数，根据余数的定理，可以分别求出418，814和1616除以13所得的余数，然后再求余数的乘积除以13的余数，即可得解。
418÷13＝32…2，
814÷13＝62…8，
1616÷13＝124…4
2×8×4=64
64÷13＝4……12
418×814×1616除以13所得的余数是12。
想一想做一做以下对应题目：
1.15×38×412×541除以13所得的余数是多少?
2.31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少?
难题点拨③
用一个大于0的自然数，分别去除35，59和123，所得的余数相同，则这个数是________。
解题分析：根据同余定理知:35，59和123这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的公因数;然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数。
123-59=64=2×2×2×2×2×2
123-35=88=2×2×2×11
59-35=24=2×2×2×3
这三个差的公因数有:1，2，2×2＝4，2×2×2＝8，其中1不符合题意舍去。故答案为:2或4或8。
想一想做一做以下对应题目：
1.三个数23，51，72，分别除以同一个大于1的自然数，得到同一个余数，则这个除数是多少？
2.一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是多少？
3.学校买来101个乒兵球，67个乒乓球拍和3个乒乓球网。如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同。那么，这个学校应有多少个班。(班数大于1)
难题点拨④
乙个数除以5余3，除以6余4，除以7余1。求适合条件的最小数？
解题分析：我们假设给这个数减少8，那么问题就变为:一个数能被5整除，能被7整除，除以6余2，求适合条件的最小数。
因为这个数能被5和7整除，而且除以6余2，所以我们可以在5和7的公倍数中找除以6余2的数：
5和7的公倍数:35，70，105，140……
除以6余2的数：×，×，×，√……
5和7的公倍数140就是除以6余2的数，适合条件的最小数就是140。所以原题的答案就是140+8＝148。
想一想做一做以下对应题目：
1.有一个数，被3除余2，被4除余2，被5除余3，这个数最小是多少?
2.一个自然数被3除余2，被5除余1，被7除余5。求满足这些条件的最小自然数。
3.一个自然数被3除余1，被5除余3，被7除余5，被11除余3。求满足这些条件的最小自然数。
本节课所有练习题答案如下：
难题点拨1想一想做一做
1.自然数n去除63，91，129都有余数，如果用这三个数减去各自的余数，这样这三个数就可以被整除。这三个数的和也一定能被整除，然后把这三个数的和减去余数之和所得的差分解质因数即可解答。具体如下:
①(63+91+129)-25＝258;
②258能被n整除，把258分解质因数是:
258＝2×3×43，因为余数的和为25，而余数不可能大于除数，所以除数不可能是2或者3，所以只能是n＝43。
2.设这个自然数为x，且去除63，90，130所得的余数分别为a，b，c，则63-a，90-b，130-c都是x的倍数。于是(63-a)+(90-b)+(130-c)＝283-(a+b+c)＝283-25＝258也是x的倍数。又因为258＝2×3×43。则可能是2或3或6或43(显然，86，129258不符合题意应舍去)，因为a+b+c＝25，故a，b，c中至少有一个要大于8(否则a，b，c都不大于8，就推出a+b+c不大于24，这与a+b+c＝25矛盾)。根据除数必须大于余数，可以确定x＝43，从而a＝20，b＝4，c＝1。显然，1是三个余数中最小的。
难题点拨2想一想做一做
1.①15÷13＝1……2；
②38÷13＝2…12；
③412÷13＝31……9;
④541÷13＝41……8;
⑤2×12×9×8＝1728，1728÷13＝132…12，所以15×38×412×541除以13的余数是12。
2.31453÷4＝7863…1
68765÷4＝1719……1
987657÷4＝246914……1
1×1×1＝1所以31453×68765×987657的积除以4余数是1。
难题点拨3想一想做一做
1.51-23＝28，72-51＝21，72-23＝49，(28，21，49)＝7，所以答案为7
2.19
3.设有x个班。每种物品都剩下m个。这样，x可以整除(101-m)、(67-m)、(33-m)这三个数，所以也可以整除这三个数里任意两个数的差。即x还可以整除.(101-m)-(67-m)＝34，(101-m)-(33-m)=68。可以同时整除34和68的数有1，2，17，34，检验知1，2，17符合题目中的条件。但班数大于1，所以只有2，17符合题意。
难题点拨4想一想一做一做
1.38
2.26
3.1048
