罗尔定理

罗尔定理:若 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f (a) = f (b),则至少存在一点 (a,b),使 得 f ( ) = 0.
考法 1:证 f ( ) = 0, f ( ) = 0. 方法:对 f (x), f (x)用罗尔定理. 考法2:证G[, f(), f()]=0. 特点:含导数，无 a, b 方法:构造辅助函数F(x),使用罗尔定理. (1)观察法
F(x) = G[x, f (x), f (x)]. (2)公式法
F(x) =(x)G[x, f (x), f (x)],其中(x) 0. 形如: f (x) + p(x) f (x) = 0,则 公式法:F(x)=ep(x)dx f(x).
【例 1】设函数 f (x)在(−,+)上具有二阶连续导数，且lim f (x) =1, f (1) = 0,证明:至少 x→0 x2
存在一点 (0,1),使得 f () = 0. 【解析】由泰勒定理，得
x→0 x→0 所以f(0)= f(0)=0, f(0)=2.
从而f(0)= f(1)=0.
f(x)
lim x2 =lim
f(0)+ f(0)x+ f(0)x2 +o(x2)
x2 2! =1,
对 f (x)在[0,1]上用罗尔定理知，存在 (0,1),使得 f () = 0.
从而f(0)= f()=0.
再对 f (x)在[0,]上用罗尔定理知，存在 (0,) (0,1),使得 f () = 0.
【例2】设函数f(x)在[1,3]上连续，在(1,3)内可导，且3lnxf (x)dx=0,证明:存在(1,3),使得 2
f()+ 1 f()=0. ln
1
【解析】设F(x)= f(x)lnx,x[1,3]. 由积分中值定理，知
3lnxf(x)dx=3 f(x)lnxdx= f()ln=0,[2,3]. 22
于是F()= f()ln=0.
又F(1) = f (1)ln1= 0,从而F(1) = F() = 0. 对F(x)在[1,]上用罗尔定理知， (1,) (1,3),使得F() = 0,即
f()+ 1 f()=0. ln
【例3】设奇函数 f (x)在[−1,1]上具有二阶导数，且 f (1) =1,证明: (1)存在 (0,1),使得 f () =1;
(2)存在(−1,1),使得f()+ f()=1.
【解析】(1)设F(x)= f(x)−x,x[−1,1],则F(0)=F(1)=0. 对F(x)在[0,1]上用罗尔定理知， (0,1),使得F() = 0,即 f () =1. (2)设G(x) = ex[ f (x)−1],x[−1,1],则
G( ) = e [ f ( ) −1] = 0. 又f(−x)=−f(x),所以f(−x)= f(x),从而f(−)= f(),于是
G(− ) = e− [ f (− ) −1] = 0.
所以G(−) = G() = 0.
对G(x)在[−,]上用罗尔定理知， (−,) (−1,1),使得G() = 0,即
f()+ f()=1.