基于响应面方法的桥梁结构有限元模型修正
基于响应面方法的桥梁结构有限元模型修正
摘 要
对于桥梁结构的静动力分析、损伤识别、健康监测及安全性评估等方面，建立一个准确和有效的有限元模型是不可缺少的前提。通常依据设计图纸建立的初始有限元模型的静动力响应计算结果与实测结果之间存在着一定的误差，这个误差往往较大，因此需要对初始有限元模型进行修正，使得修正后的有限元模型能更好的反映结构的实际受力状态。
本文以阜阳市颍河大桥主桥为工程背景，基于荷载试验实测数据，采用响应面方法对初始有限元模型进行修正，使修正后的有限元模型和该桥实际的静动力特性更加的吻合。
论文的主要工作和结论包括：
1. 介绍了基于响应面方法进行有限元模型修正的相关原理。主要包括试验设计、参数的显著性检验、响应面函数形式的选择与拟合、响应面模型的判断与验证。
2. 利用ANSYS软件，分别采用梁格法、单主梁法、壳单元法建立了一座曲线连续梁桥结构。以壳单元计算结果为参考，比较了梁格法和单主梁法支座反力的计算结果，结果表明梁格法与单主梁法相比具有更高的计算精度。
3. 根据颍河大桥主桥原始设计图纸，采用梁格法建立了该桥的初始有限元模型。
4. 初始有限元模型的吊杆索力与实测索力误差较大，最大误差达到了34.39%。本文采用一种迭代法对吊杆索力进行了修正，修正后的吊杆力与实测值吻合较好，所有吊杆力的误差均控制在了3%以内。
5. 采用响应面方法对有限元模型进行了修正，试验设计方法采用D-最优试验设计。修正后的结果表明，结构的静动力响应值与实测值更加吻合。
6. 利用两种静载试验工况对修正后的有限元模型进行了验证。结果表明，除了个别测点外，大部分测点的静力响应挠度值误差均有明显的较小，说明了本文采用响应面方法进行有限元模型修正的整体效果是较好的。修正后的有限元模型可以应用到结构的静动力响应再分析及健康监测等方面。
关键词：有限元模型修正，响应面，梁格法，荷载试验
目 录
摘 要1
第一章绪论3
1.1研究背景及意义3
1.2有限元模型修正技术研究现状4
1.2.1有限元模型修正概述4
1.2.2基于动力的有限元模型修正4
1.2.3基于静力的有限元模型修正5
1.2.4联合静动力的有限元模型修正6
1.2.5基于响应面的有限元模型修正7
1.3本文的主要工作8
第二章 基于响应面模型的修正理论10
2.1 引言10
2.2 响应面实验设计基本原理10
2.2.1 全因子试验设计11
2.2.2 中心复合设计11
2.2.3 D-最优设计13
2.2.4 BBD设计13
2.2.5正交设计14
2.2.6均匀设计14
2.3 参数显著性检验15
2.4 响应面函数形式的选择与拟合16
2.5 响应面模型的判断与验证17
2.6 本章小结17
第三章 工程概况及成桥荷载试验18
3.1 颍河大桥主桥工程概况18
3.2 颍河大桥主桥成桥荷载试验20
3.2.1 静载试验简介20
3.2.2 静载试验工况选择21
3.2.3 测点布置21
3.2.4 试验工况及荷载分级24
3.2.5 试验结果25
3.3 颍河大桥主桥动载试验27
3.3.1 动载试验简介27
3.3.1 试验工况选择28
3.3.2 测点布置28
3.3.3 动载试验结果分析与评定29
3.4 本章小结31
第四章 颍河大桥主桥初始有限元建模32
4.1 引言32
4.2 数值算例33
4.3 颍河大桥主桥初始有限元建模35
4.4 修正吊杆力36
4.5 初始静动力特性41
4.5.1 初始动力特性41
4.5.2 初始静力特性42
4.6 本章小结44
第五章 基于响应面的有限元模型修正45
5.1 试验设计45
5.2 显著性分析49
5.3 响应面函数拟合及精度检验52
5.4 各响应量的联合响应面优化54
5.5 修正效果检验55
5.6 本章小结58
第六章 结论与展望59
6.1 本文的主要工作及结论59
6.2 后续工作展望59
参考文献61
第一章 绪论1.1 研究背景及意义
根据交通运输部发布的《2018年交通运输行业发展公报》报告显示，截至2018年末，全国公路桥梁85.15万座，5568.59万米，相对2017年增加1.90万座、342.97万米。一些大型的桥梁结构往往具有重大的社会、经济、政治价值，结构一旦发生破坏，往往会造成较大的社会影响，比如2018年10月份建成通车的港珠澳大桥，不仅缩短了粤港澳三地的通勤时间，且更重要的是拉近了港澳同胞与内地之间的联系。因此，为了保证桥梁的安全运营，需要对桥梁结构的安全进行检测评估、健康监测、必要时进行维护加固。为了使监测的数据能反映桥梁结构的工作状态，建立一个准确反映桥梁静动力特性的有限元模型是必不可少的前提。但是，初始有限元模型的计算结果往往与实测结果存在误差。
误差主要包含有限元建模误差和试验误差[1]。有限元建模的主要误差来源于建模参数的设置，依据施工图纸建立的有限元模型在一些参数值的设置上往往与实际值有出入，这些参数包括材料的密度、杨氏模量、边界条件、构件的几何尺寸等。试验误差主要包括试验设备固有的系统误差，人为测试误差等。
由于有限元建模误差和试验误差的影响，建立的初始有限元模型计算结果往往与实际结构响应误差较大，不能真实的反映实际结构的受力状态，因此，需要对初始的桥梁结构有限元模型进行修正。在实际工程应用中，一般认为试验数据更为准确和可靠。以实测的静动载试验数据为基础[2, 3]，去修正有限元分析模型中的参数，使有限元计算结果尽可能的与实测结果相近，这一过程即为有限元模型修正，修正后的有限元模型能更好的反映实际结构的静动力特性。
本文以一座飞燕式梁拱组合桥为工程背景，基于实测的静动载试验数据，对该桥进行了有限元模型修正。修正后的有限元模型可以作为该桥的基准有限元模型，具体可以应用在以下几个方面：（1）结构健康监测和安全性评估；（2）结构的损伤识别；（3）结构复杂响应再分析，比如抗风、抗震等；（4）结构的优化设计等。本文的研究方法可为其它实际桥梁结构的有限元模型修正提供参考，具有较大的理论意义和工程实用价值。
1.2有限元模型修正技术研究现状1.2.1有限元模型修正概述
有限元模型修正技术最早由Gravitz[4]在1958年提出，从此有限元模型修正技术开始了飞速发展。该技术最早在航空航天、机械工程等领域运用较多。经过几十年的发展，借助于计算机仿真技术，使有限元模型修正技术得到了很大的提高和发展，如今已逐渐从航空航天、机械工程等领域扩展到土木工程领域。
有限元模型修正技术根据模型修正对象的不同，可以分为矩阵型修正方法和设计参数型修正方法。矩阵型修正方法是对有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵进行直接的修正。矩阵型修正方法在修正过程中会破坏原矩阵的稀疏性和对称性，使得修正后的模型没有明确的物理意义，限制了矩阵型修正方法广泛的运用于工程实际中。设计参数型修正方法解决了矩阵型修正方法改变矩阵稀疏性和对称性的缺点。在设计参数型修正方法中，模型修正问题表现为优化问题，即把实测和理论数据之间的误差作为目标函数，改变事先选定的有限元模型的物理参数使得目标函数最小化，达到有限元模型修正的目的[1]。
随着模型修正技术的发展，出现了静力修正法、动力修正法、联合静动力修正法、响应面修正方法。
1.2.2基于动力的有限元模型修正
基于动力的有限元模型修正技术就是根据现场动载试验所釆集得到的频率、振型等动力数据来修正初始有限元模型中的物理参数，使得修正后的结构有限元模型计算的动力响应与结构实测动力响应的差异最小，从而实现基于动力的有限元模型修正。但是该种方法运用到高阶频率的修正时，精度会受到影响，可能会出现漏频现象。
任伟新[5]基于环境振动试验，采集到了大跨度斜拉桥的前12阶频率。以实测数据为基础，通过调整理论模型的索力，研究桥面板的影响，探讨钢梁与混凝土桥面板的横向剪力连接，研究端部纵向约束的影响来对理论有限元模型进行了修正。经过调整后的有限元模型计算值与实测值吻合较好。
范立础[6]等参照虎门大桥，以实桥1/150的几何比例建立了实验室悬索桥模型。振动试验中，通过电扇吹风模拟环境激励，采集到了结构的前11阶自振频率。运用一种线性化的迭代修正方法，对动力特性频率进行了修正。修正后的理论频率与实测频率最大误差为4.8%。
林鸣[7]等以岳阳洞庭湖大桥岳阳侧桥塔为研究对象，通过环境振动试验获得了桥塔的前6阶振动频率。利用梁-实体单元建立了桥塔的初始有限元模型。通过灵敏度分析选取上、中、下塔柱的弹性模量和上、中塔柱的密度为待修正参数，以ANSYS自带的优化算法对桥塔的前6阶频率进行了修正。修正之后，频率误差均控制在了3%以内。
李志刚[8]等通过现场环境振动试验及模态识别得到了一座异型斜拉桥的前4阶竖弯、1阶平弯、1阶扭转的频率。基于实测数据，以频率残差和振型残差为目标函数对该桥初始有限元模型进行了修正，修正后的频率计算值与实测值吻合较好。
林贤昆[9]等以张家港河大桥为对象，通过模态试验获得了前10阶的模态参数。定义了包含频率和振型相关系数的多目标函数，利用实数编码加速遗传算法对该桥初始有限元模型进行了修正。修正结果表明，采用实数编码加速遗传算法对提高模型的精度和计算效率有较好的作用，修正后的有限元模型能较准确的反映桥梁实际的动力特性。
夏品奇[10]基于一座具有圆弧桥面、单偏置斜塔的斜拉桥，分别建立了该斜拉桥的“脊骨梁”有限元模型和“完整”有限元模型，以实测频率为目标，分别对其进行了修正。文中的“完整”有限元模型与“脊骨梁”有限元模型相比，桥面的惯性特性、扭转特性和弯曲特性能较好地反映出来，比较符合桥面结构的真实情况。修正的结果表明，“脊骨梁”模型修正参数变化太大，失去了本身的物理意义，“完整”有限元模型修正结果较好，修正后的频率误差都小于10%。
张启伟[11]基于江阴长江大桥环境振动所得的测量值，采用二次规划算法对初始有限元模型进行了修正，修正后的模型的动力特性更加接近于实测值。
ALTUNIŞIK A C[12]等基于一座木桥的环境振动试验，获得了该桥的前六阶频率。通过调整结构各构件弹性模型、剪切模量、泊松比的参数值，将木桥动力响应频率计算值与实测值的最大误差由34.55%降到了4.26%。
ZIVANOVIC S[13]等建立了一座人行天桥的初始有限元模型，将其频率计算值与实测值进行对比，发现有两阶竖向反对称振型的频率误差较大。通过在合理的范围内去调整结构24个参数的值，将实测前7阶的频率值与计算值得误差控制在了2%以内。
1.2.3基于静力的有限元模型修正
基于静力的有限元模型修正方法与基于动力的有限元模型修正方法类似，二者的区别在于目标函数包含的对象不同，前者是以结构的静力响应（挠度、应变等）为目标函数，后者是以结构的动力响应（频率、模态柔度等）为目标函数。两种修正方法在思路上是大体一致的，修正的原理可以这样去描述，即在建立结构的有限元模型之后，基于结构荷载试验的实测数值，通过不断迭代计算，不断调整结构有限元模型的参数如材料参数和几何特性等，使得结构有限元模型计算的静动力响应与结构实测的静动力响应的差异最小，从而实现有限元模型修正。基于静力有限元模型修正由于静载试验荷载工况的有限性，使得静力响应具有局部化的特征，就可能使得模型修正的结果不能全面反映结构的整体特性，只能反映静载试验中车辆荷载作用位置的局部区域的特性。
钟颖[14]对南阳市内瑞河桥（东桥）进行了有限元模型修正。瑞河桥（东桥）初始有限元模型计算结果与实测值最大误差达到了68.51%，经过修正后，最大误差降到了37.02%，说明经过修正后的有限元模型的静力特性与实测的静力特性更加吻合。
向天宇[15]以一座两跨预应力混凝土连续梁为研究对象，基于该桥的静力测试结果，应用有限元模型修正技术，对该桥进行了损伤识别。
任伟新、邓苗毅[16]依据静力荷载试验挠度测试结果，对一座五跨连续箱梁桥进行了有限元模型修正。修正参数选择的是梁截面抗弯刚度，修正后的计算挠度与实测挠度吻合较好。任伟新、邓苗毅[17]还基于一片简支梁桥的静载试验数据，建立了包含实测挠度、转角和曲率的目标函数，采用序列二次规划法求解非线性优化问题，识别了梁结构的分段抗弯参数。
李旺东[18]对某上承式混凝土拱桥进行了有限元模型修正。修正后的静力响应应变值与实际测量的应变值更加吻合。基于修正后的有限元模型，计算了该拱桥的极限承载力。
崔飞[19]等以桥梁结构模型中各单元的等效面积、惯性矩以及板壳单元的厚度作为识别参数。以一试验桁架桥实测的位移与应变为目标，进行了物理参数的识别。
1.2.4联合静动力的有限元模型修正
单独的基于静力或者动力进行模型修正都存在一定的不足，所以相关研究人员考虑了将静力和动力的实测信息结合在一起去构造目标函数，这样做的优点是兼顾到了结构整体和局部的力学特性，进一步增大了参数识别结果的有效性和可靠性。
任伟新、谢瑞杰[20]以静力响应位移和动力响应频率的残差构造目标函数，对一系杆拱桥进行了模型修正。结果表明，联合运用静力和动力测试数据进行模型修正取得了好的效果，修正后的模型更准确地反映了结构的静动力特性。
宗周红、夏樟华[21]提出了一种联合动力模态柔度和静力位移的有限元模型修正方法。将此方法运用到一座加固后的刚架拱桥，修正结果表明这种联合静、动力的有限元模型修正方法具有比较好的模型修正效果，修正后的有限元模型可以作为该桥的基准有限元模型。
田仲初[22]等运用联合静动力的分层次有限元模型修正方法对佛山东平大桥进行了模型修正。该种方法的特点是有限元模型修正分两步完成，第一步先对该桥进行基于静力的有限元模型修正，在第一步完成的基础上进行第二步，对该桥进行基于动力的有限元模型修正。分析结果表明，联合静动力的分层次有限元模型修正能取得较好的效果。
邬晓光[23]等考虑了静动力各自权重的问题，提出一种基于灵敏度分析计算静动态分项指标权重，综合运用静动力单目标函数动态权重系数的静动力联合修正方法。运用该方法对一曲线梁桥进行了模型修正。结果表明，与传统的联合静动力有限元模型修正方法相比，此种改进的修正方法精度更高。
岳笛[24]基于重庆石板坡长江大桥复线桥静动载试验数据，联合位移和频率构造目标函数对该桥进行了模型修正，修正后的静动力特性与实测值吻合较好。
翁尚彬[25]以重庆菜园坝长江大桥为依托，利用实桥静动力试验数据，将基于形函数法的参数选取和分组方法和基于NAGA-II的多目标函数优化算法相结合，对该桥的初始有限元模型进行了修正。
1.2.5基于响应面的有限元模型修正
基于响应面方法的有限元模型修正，是统计理论和模型修正技术的结合，该方法通过试验设计计算，得到输入参数和结构响应之间的显示函数关系式（响应面模型），用此响应面模型代替有限元模型，实现结构模型参数的优化修正。基于响应面的模型修正方法与传统的修正方法相比，提高了计算效率，不用每次计算都去调用有限元模型，而是在响应面模型上进行迭代，实现结构模型参数的优化修正，同时这种方法还能解决传统模型修正方法在对参数灵敏度分析时容易陷入局部最优解的问题。
任伟新、陈华斌[2]利用响应面方法对一六跨连续梁桥进行了模型修正。修正的结果表明，基于响应面的有限元模型修正方法实用性较强，与传统的基于灵敏度分析的有限元模型修正方法相比，可以显著提高有限元模型修正的效率。任伟新、邓苗毅[26] 以一片连续梁结构的数值算例模型，介绍了应用响应面方法对结构进行有限元模型修正的一般过程。任伟新、魏锦辉[27] 以常德市白马湖公园虹桥为工程背景，构造包含静力位移和振动频率的联合目标函数，运用得到的显示函数表达式（响应面模型）对该桥进行了有限元模型修正。修正结果表明，基于响应面修正的该种方法可以实测值与计算值达到较好的吻合程度。任伟新、魏锦辉[28]还提出了一种基于具有全局收敛特性的自适应响应面的结构有限元模型修正方法，该方法可以有效避免在修正的过程中陷入局部最优点。
万花平[29]等将高斯过程响应面运用到有限元模型修正中。运用此方法对一数值悬臂梁进行了分析研究。研究结果表明，高斯过程响应面方法相对于传统响应面方法用于结构有限元模型修正精度更高，其应用于结构有限元模型修正更具优势。
周林仁、欧进萍[30]对某三塔四跨半漂浮体系的斜拉桥展开了有限元模型修正，建立了待修正参数和特征量关系的径向基函数响应面模型。修正结果表明，采用该方法拟合斜拉桥设计参数与特征量之间的关系有较高的精度和抗噪能力。
钟儒勉[31]等采用两阶段响应面的方法对某斜拉桥展开了模型修正。两阶段响应面方法指的是将响应面方法分别应用于多尺度建模修正和模型参数修正中。运用该方法修正后的频率与实测频率吻合较好。
万利军[32]等基于某连续-刚构组合桥，采用D-最优设计和中心复合设计分别对该桥进行了模型修正。修正后的结果表明通过两种方法拟合得到的响应面模型精度都满足要求。但是，在待修正参数较多时建议采用D-最优设计进行响应面模型的拟合。
1.3本文的主要工作
本文以安徽省阜阳市颍河大桥主桥为工程背景，基于通车前荷载试验实测数据，应用响应面的方法对该桥进行了有限元模型修正。修正后的模型能更真实的反映结构的静动力特性，可以应用与该桥日后长期的健康监测与状态评估等方面。
论文全文共分为六章，每章的主要内容如下：
（1）第一章是绪论，主要阐述了本文的研究背景及意义，对有限元模型修正的研究现状进行了介绍。
（2）第二章是基于响应面模型的修正理论，介绍了基于响应面的有限元模型修正方法的原理与步骤。重点介绍了试验设计、参数显著性检验、响应面函数形式的选择与拟合以及响应面模型验证。
（3）第三章是工程概况及成桥荷载试验，介绍了颍河大桥主桥静动载试验，获得了该桥真实的静、动力特性。
（4）第四章是颍河大桥主桥初始有限元模型。首先，分别采用梁格法、单主梁法、壳单元法建立了一座曲线连续梁桥数值算例，以壳单元计算结果为参考，比较了梁格法和单主梁法支座反力的计算结果，结果表明在分析桥梁上部结构时，梁格法与单主梁法相比具有更高的计算精度。然后，根据颍河大桥主桥原始设计图纸，采用梁格法建立了该桥的初始有限元模型。但是，建立的初始有限元模型在自重工况下的吊杆索力与实测索力误差较大，于是本文采用一种迭代法对吊杆索力进行了修正，修正后的吊杆力与实测值吻合较好，所有吊杆力的误差均控制在了3%以内。最后，对修正吊杆力后的有限元模型静动力特性与实测结果进行了比较。
（5）第五章是基于响应面的有限元模型修正。本章采用响应面方法对有限元模型进行了修正，并用其余两种静载试验工况对修正效果进行了检验。
第二章 基于响应面模型的修正理论2.1 引言
响应面方法（Response Surface Method,RSM）最早由Box和Wilson提出[33]，是一项基于统计学分析的综合实验技术，最早运用在化学、生物学、环境科学等领域。
响应面方法的概念可以表述为[33, 34]：在变量的设计空间内，采用回归分析法对样本点处的响应值或试验值拟合，得到模拟真实极限状态曲面的响应面，在进一步的问题分析和求解中替代有限元模型或其他复杂模型进行更有效设计或计算的一种方法。
随着响应面方法理论的不断发展和完善，响应面方法逐渐开始在土木工程领域应用于有限元模型修正和有限元模型确认。响应面模型把结构参数和结构响应之间用显示函数表达式联系了起来，结构参数相当于函数的自变量，结构响应相当于函数的因变量。
建立响应面模型后就可以在响应面模型上进行迭代计算，而不用去进行大量的结构有限元计算，避免了因结构的有限元数值计算带来的一些不足和缺陷，提高了计算效率和精度。
修正过程中涉及三个关键问题：（1）试验设计；（2）参数筛选；（3）响应面函数形式的选择与拟合。
2.2 响应面实验设计基本原理
试验设计是一种安排试验和分析试验数据的数理统计方法。通过对试验的合理安排，能以较小的试验规模和较少的试验次数，较短的试验周期和较低的试验成本，得到理想的试验结果和得出科学的结论。
在选择试验设计方法时，理想的参数试验设计应满足以下几点[35]：
（1） 确定必要的系统参数（试验因素）；
（2） 恰当地确定系统参数水平，避免系统参数太多的水平；
（3） 参数设计取值合理，并且计算简单；
（4） 在整个系统参数变量的可能范围内能够提供试验点的合理分布；
（5） 不需要大量的系统实际试验。
常用的响应面实验设计方法包括：全因子设计、部分因子设计、中心复合设计(central composite design，CCD)、BBD(Box-Behnken Design)设计、D-最优设计、正交设计和均匀设计等。
2.2.1 全因子试验设计
全因子实验设计是指在一次完全实验中，所有因子的所有水平的组合都至少要进行一次实验。例如，试验在一项试验中有k个因子，每个因素有e个水平，则全因子试验最少需要ek次。如某试验的因子3个，每个因子水平数也是3个，则此试验若进行全因子试验须33=27次（空间试验分布点如图2.1所示）[35]。
全因子试验设计具有以下三个特点：
（1） 全因子试验是所有因子的水平的完全组合；
（2） 全因子试验所需的试验次数为ek即以水平数为底，因子为幂的指数；
（3） 因为全因子试验是完全组合，结论是最真实可靠的。
由于全因子试验设计包含了所有的组合，所以全因子试验所需试验的总数会较多。例如4因素4水平时，所需试验次数为256，这个计算量是较大的。所以，全因子试验设计不适用于因子数和水平数均较多的场合。
图2.1 33全因子设计空间试验点分布
2.2.2 中心复合设计
中心复合设计（简称CCD）是最常用的响应曲面试验设计。它由2k个因子点（也称立方点，其中k为因子数）、2k个轴点（也称星形点）和n个中心点组成[36]。下面以2因子中心复合试验设计为例对三种点加以说明。
（1）立方点，即2水平对应的“-1”和“+1”点，各坐标皆为+1或-1。用于估计线性和交互作用效应，而不估计弯曲。在k各因子的情况下，共有2k个立方点，如图2.2所示；
图2.2 立方点
（2）轴向点，又称星号点，分布在轴向上。记为（+a，0）、（-a，0）、（0，+a）、（0，-a）。用于估计二次项。在k各因子的情况下，共有2k个立方点，如图2.3所示；
图2.3 轴向点
（4） 中心点，即设计中心，在坐标轴上表示为（0，0）。添加中心点可以检查拟
合数据中的弯曲。将三种点集成在一个图上，如图2.4所示。
图2.4 中心复合试验点分布
中心复合设计在使用时一般按照三个步骤进行试验：第一步，先进行2水平全因子或部分因子试验设计；第二步，再加上中心点进行非线性测试；第三步，如果发现非线性影响为显著影响，则加上轴向点进行补充试验以得到非线性预测方程。
使用中心复合设计，不仅可以评估因子的非线性影响，还可以获得正交区组和旋转的合意设计属性[37]。
正交区组：通常，中心复合设计会在多个区组中运行。中心复合设计能够以正交方式划分区组，从而可以独立估计模型项和区组效应并最大限度地减少回归系数的变异。
可旋转：可旋转的设计提供了所希望的属性，即距设计中心等距离的所有点处的预测方差是恒定的，由此提高了预测质量。
2.2.3 D-最优设计
模型的精度可以通过方差-协方差矩阵V(b)来表示：
(2-1)
式中为标准差，从统计学角度看，D-最优设计即使的行列式最大化。
D-最优设计具有以下各个特点：（1）在确定样本点之前，必须先确定响应函数模型；（2）各个因子的试验水平可以不相同，同一因子各水平间间距可以不相同；（3）可以在先前的试验点样本中并入新的参数试验点；（4）可以从试验表中去除不能实现的边界点。
2.2.4 BBD设计
BBD设计和中心复合设计(CCD)类似，都是旋转性的响应面设计方法[38]。BBD设计设计是将因子各实验点取在立方体棱的中心上，以三因子BBD设计为例，其空间试验设计点的分布如图2.5所示。
图2.5三因子BBD设计空间试验点分布
BBD设计具有以下几个特点：
（1） 可以评估因子的非线性影响；
（2） 具有旋转性，但是没有序贯性；
（3） 没有将所有试验因子同时安排为高水平的试验组合，对某些安全要求或特别
需求的试验尤为适用。
BBD设计与中心复合设计相比，不存在轴向点，所以在实际试验设计时因子的水平不会超过设定的安全范围。而存在轴向点的中心复合设计却存在生成的轴向点可能超出安全操作区域。
2.2.5正交设计
正交设计（Orthogonal Array，OA）是由日本统计学家，田口玄一博士于1949年提出的一种安排和设计试验的实验设计方法，该方法的思想是根据田口玄一博士制定的一套正交设计表格，从全部的实验数据中选取一些代表点进行试验，他们能够在实验范围内反应参数因子和响应量之间的关系[39]。
正交设计点具有“均衡分散性”和“整齐可比性”。整齐可比性是指每一列中所有数字出现的次数是相等的。均衡分散性指任意两列间横向组合的数字对搭配次数相等。例如，对于一个3因子3水平的试验，若进行全面的试验，则试验方案包含了33个水平组合。如果利用正交表去安排试验，则需要9个水平组合。红色点代表通过正交表选择的试验点，如图2.6所示。
图2.6 三因子三水平正交试验点分布
2.2.6均匀设计
在正交设计中，试验点的均匀分散性会受到一定的限制，有时会导致正交表筛选出的试验点代表性不够强，即得到的试验信息不够全面。中国学者方开泰教授和王元院士在基于正交试验的基础上，1978年提出了一种只需考虑试验点在实验范围内均匀散布的均匀实验设计方法[40]。
均匀设计表格的布点方式有两大特点：一是每个参数的每个水平（取值）做一次仅做一次试验；二是任两个参数的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。
均匀设计被有效的应用在了我国飞航式导弹的设计中，不仅使试验、设计周期大大缩短，还节约了大量的费用。
2.3 参数显著性检验
在试验设计时所需要做的试验次数与参数因子的个数成指数上升的关系。在一个试验设计过程中，人们尽量想用最少的参数和最少的试验次数即可准确地考察参数和响应量之间的关系。对于不同的结构形式，影响其响应量的参数因子各不相同，所以在有限元模型修正过程中选择对响应量影响显著的参数因子，剔除对响应量影响不显著的参数因子，从而有效地减少响应面函数的拟合系数，减少计算量，提高响应面模型精度。
基于响应面方法的有限元模型修正主要采用方差分析方法筛选对响应量影响显著的参数。方差分析方法与传统的灵敏度分析方法相比，方差分析方法是从全局的角度出发，在整个设计空间挑选对特质量有显著影响的参数；而基于灵敏度的分析方法只能计算局部的灵敏度，得到的结果有时并不一定是全局的最优解。
基于响应面方法的有限元模型修正主要运用F检验法进行方差分析。F检验是由英国统计学家费歇尔1932年提出的[41]。F检验法的基本思想是将样本数据的总偏差平方和SST分解为回归平方和SSR以及误差平方和SSE，然后求出F值，应用F值检验法进行假设检验，筛选出对响应量影响显著的参数。
设回归模型包括个自变量,,,···,，如果增加一个变量到这个模型上，则检验的统计量F为：
(2-2)
式中，为包括个自变量,,,···,的回归模型的误差和，为包括个自变量的回归模型的误差平方和，为回归模型所有自变量总个数。
如果变量对响应的影响不显著，那么回归模型中该变量的待定系数应为0因此，检验对响应量影响显著的参数，就相当于检验其系数是否为0。
在给定显著水平（如=0.05）下，取：
(2-3)
若)，即P0.05，拒绝其系数为0的假设，认为在显著水平=0.05下，该参数对响应量影响显著；
若)，即P0.05，接受其系数为0的假设，认为在显著水平=0.05下，该参数对响应量影响不显著。
2.4 响应面函数形式的选择与拟合
响应面函数的形式在基于响应面的结构有限元模型修正中占有很重要的地位，通常要求所选择的响应面函数要满足以下两个要求：
1、表达式可以表达系统的输入参数和输出响应之间的关系，并力求简单；
2、表达式中待定系数要尽量的少，以降低计算次数与试验次数。
响应面模型有很多种，常见的有多项式、非线性函数、幂函数、BP 神经网络模型、径向基函数、多元适应性回归样条函数等。下面介绍常用的多项式响应面模型。
假设系统的响应特征量y为因变量，(i=1,2,···,k)为方差分析筛选出的k个设计参数，多项式响应面模型的形式如下[42]：
(2-4)
式中，，(，、分别为设计参数取值范围的上边界和下边界，、、、、、、为各待定系数。
目前，用于桥梁工程的响应面模型通常采用二阶多项式响应面模型。本文也将采用二次多项式建立响应面模型。二阶多项式响应面形式如下：
(2-5)
多项式响应面模型中，一到三阶响应面函数形式、参数个数及待定系数个数之间的关系如表2-1所示。
表2-1 响应面函数形式、参数个数及待定系数个数之间的关系
参数个数 一阶多项式响应面函数待定系数个数 二阶多项式响应面函数待定系数个数 三阶多项式响应面函数待定系数个数
2 3 6 10
3 4 10 20
4 5 15 35
5 6 21 56
表2-1 响应面函数形式、参数个数及待定系数个数之间的关系（续）
参数个数 一阶多项式响应面函数待定系数个数 二阶多项式响应面函数待定系数个数 三阶多项式响应面函数待定系数个数
6 7 28 84
7 8 36 120
8 9 45 165
9 10 55 220
10 11 66 286
2.5 响应面模型的判断与验证
由回归分析中的平方和分解公式可知：
(2-6)
式中：—样本数据总的偏差平方和；—回归平方和；—误差平方和
(2-7)
为相关系数的平方和，记为，其值在0~1之间且越接近1说明实验结果越理想。但当自变量个数增加时，无论该自变量对响应量是否显著，的值都会增加，当需要对模型进行修改，在判断是否要剔除或者添加该自变量时，的参考价值就没意义了，由此引入作为响应面模型拟合的共同判断标准。
(2-8)
—观测值的总个数；—回归方程中的总项数（包括常数）。
同样的值也在0~1之间且越接近1说明实验结果越理想，响应面模型拟合的好坏可从和的接近程度来判断，两值越接近1且两者之间的差值越小，说明模型越好[43]。
2.6 本章小结
基于响应面的有限元模型修正相对传统模型修正方法有着自己独特的特点。本章介绍了基于响应面方法的有限元模型修正的相关理论基础。重点介绍了全因子试验设计、中心复合设计、D-最优设计、BBD设计、正交设计、均匀设计、参数显著性检验、响应面函数形式的选择与拟合、响应面模型的判断与验证。
第三章 工程概况及成桥荷载试验3.1 颍河大桥主桥工程概况
向阳路颍河大桥主桥位于阜阳市市区，跨越颍河，连接颍东区与颍州区，桥梁上距颍南公路桥约1.3km，下距京九铁路桥约75m。颍河大桥主桥跨径布置为（47+148+47）m，全长242m，结构类型为飞燕式梁拱组合桥。整体效果如图3.1所示。
图3.1 颍河大桥主桥整体效果图
拱圈截面为矩形钢箱结构，拱圈轴线为二次抛物线形，矢跨比为1:4。拱脚位置处拱圈上、下缘线为二次抛物线与圆弧线的组合线形，靠近中墩处，上缘采用半径220m的反切圆弧对拱圈上缘线进行过渡，顺接至边跨；下缘采用半径125m的正切圆弧与顺接拱脚箱梁。中墩处采用镂空处理，局部采用小半径圆弧线进行过渡。横桥向，全桥由双片拱圈组成，拱圈间距为35m。双片拱圈间通过两片组合起来的门式风撑进行连接，保证拱圈的横向稳定性。单片拱圈主体部分为矩形截面，拱圈高度为2.4m，横向宽度为2.0m，宽度与系杆（钢纵梁）宽度一致。拱圈截面，腹板、顶底板钢板厚度均为20mm，拱脚处顶底板加厚至24mm. 拱圈内部均采用I型加劲肋，加劲肋高度为180mm，钢板厚度为16mm，顶底板、腹板加劲肋间距为400mm。拱箱内，顺桥向每隔2m设置一道横隔板，横隔板平面与拱轴线垂直，隔板厚度为20mm，隔板中心采用挖空处理，便于后期检修人员出入。挖空孔洞边缘采用长200mm、厚度12mm的钢板包裹一圈进行加劲处理。在吊杆处另外设置吊杆加劲隔板，与吊杆轴线方向一致。拱圈整体构造布置图如图3.2所示。
图3.2 主桥拱圈布置示意图（单位：mm）
桥梁中跨桥面系采用正交异性钢桥面板结构形式。桥面板厚度为16mm，横桥向采用高强螺栓与钢纵梁（系杆）进行栓接。桥面板由5根I型小纵梁进行支撑，小纵梁梁高为1750mm,间距为5.1或5.7m，钢板厚度为20mm。小纵梁之间再设置U型加劲肋，U肋采用8mm钢板压制成的U形闭口肋，闭口肋顶宽300mm，高280mm，底宽170mm，闭口肋的间距为600mm。横梁采用整板式的横隔板，横隔梁间距为3.0m。横梁厚度均为20mm。横梁与两侧主系梁通过高强螺栓连接。中跨钢箱梁共分为22个梁段，节段标准长度为6m。梁段间钢结构工地接缝均为焊接。吊杆与钢梁的锚固结构为全焊结构。主桥标准横断面如图3.3所示。
图3.3 主桥标准横断面布置示意图
主桥钢纵梁梁高2.5m，宽2.0m。纵梁顶底板、腹板均为24mm厚钢板。钢纵梁顶底板均采用I型加劲肋，加劲肋高度为170mm、厚14mm钢板焊接成。每侧钢纵梁内设置四束体外预应力钢绞线，组成结构的柔性系杆体系。
主桥边跨部分采用钢箱梁结构形式。主墩处梁高为5.5m，通过16m的二次抛物线过渡段，向边墩方向过渡至2.5m梁高。横桥向为单箱八室结构。其中外侧两室宽度为2.0m，与主跨钢纵梁对接，其他6室宽度分别为：5.7m、5.1m。箱梁内腹板均为厚度
基于响应面方法的桥梁结构有限元模型修正
摘 要
对于桥梁结构的静动力分析、损伤识别、健康监测及安全性评估等方面，建立一个准确和有效的有限元模型是不可缺少的前提。通常依据设计图纸建立的初始有限元模型的静动力响应计算结果与实测结果之间存在着一定的误差，这个误差往往较大，因此需要对初始有限元模型进行修正，使得修正后的有限元模型能更好的反映结构的实际受力状态。
本文以阜阳市颍河大桥主桥为工程背景，基于荷载试验实测数据，采用响应面方法对初始有限元模型进行修正，使修正后的有限元模型和该桥实际的静动力特性更加的吻合。
论文的主要工作和结论包括：
1. 介绍了基于响应面方法进行有限元模型修正的相关原理。主要包括试验设计、参数的显著性检验、响应面函数形式的选择与拟合、响应面模型的判断与验证。
2. 利用ANSYS软件，分别采用梁格法、单主梁法、壳单元法建立了一座曲线连续梁桥结构。以壳单元计算结果为参考，比较了梁格法和单主梁法支座反力的计算结果，结果表明梁格法与单主梁法相比具有更高的计算精度。
3. 根据颍河大桥主桥原始设计图纸，采用梁格法建立了该桥的初始有限元模型。
4. 初始有限元模型的吊杆索力与实测索力误差较大，最大误差达到了34.39%。本文采用一种迭代法对吊杆索力进行了修正，修正后的吊杆力与实测值吻合较好，所有吊杆力的误差均控制在了3%以内。
5. 采用响应面方法对有限元模型进行了修正，试验设计方法采用D-最优试验设计。修正后的结果表明，结构的静动力响应值与实测值更加吻合。
6. 利用两种静载试验工况对修正后的有限元模型进行了验证。结果表明，除了个别测点外，大部分测点的静力响应挠度值误差均有明显的较小，说明了本文采用响应面方法进行有限元模型修正的整体效果是较好的。修正后的有限元模型可以应用到结构的静动力响应再分析及健康监测等方面。
关键词：有限元模型修正，响应面，梁格法，荷载试验
目 录
摘 要1
第一章绪论3
1.1研究背景及意义3
1.2有限元模型修正技术研究现状4
1.2.1有限元模型修正概述4
1.2.2基于动力的有限元模型修正4
1.2.3基于静力的有限元模型修正5
1.2.4联合静动力的有限元模型修正6
1.2.5基于响应面的有限元模型修正7
1.3本文的主要工作8
第二章 基于响应面模型的修正理论10
2.1 引言10
2.2 响应面实验设计基本原理10
2.2.1 全因子试验设计11
2.2.2 中心复合设计11
2.2.3 D-最优设计13
2.2.4 BBD设计13
2.2.5正交设计14
2.2.6均匀设计14
2.3 参数显著性检验15
2.4 响应面函数形式的选择与拟合16
2.5 响应面模型的判断与验证17
2.6 本章小结17
第三章 工程概况及成桥荷载试验18
3.1 颍河大桥主桥工程概况18
3.2 颍河大桥主桥成桥荷载试验20
3.2.1 静载试验简介20
3.2.2 静载试验工况选择21
3.2.3 测点布置21
3.2.4 试验工况及荷载分级24
3.2.5 试验结果25
3.3 颍河大桥主桥动载试验27
3.3.1 动载试验简介27
3.3.1 试验工况选择28
3.3.2 测点布置28
3.3.3 动载试验结果分析与评定29
3.4 本章小结31
第四章 颍河大桥主桥初始有限元建模32
4.1 引言32
4.2 数值算例33
4.3 颍河大桥主桥初始有限元建模35
4.4 修正吊杆力36
4.5 初始静动力特性41
4.5.1 初始动力特性41
4.5.2 初始静力特性42
4.6 本章小结44
第五章 基于响应面的有限元模型修正45
5.1 试验设计45
5.2 显著性分析49
5.3 响应面函数拟合及精度检验52
5.4 各响应量的联合响应面优化54
5.5 修正效果检验55
5.6 本章小结58
第六章 结论与展望59
6.1 本文的主要工作及结论59
6.2 后续工作展望59
参考文献61
第一章 绪论1.1 研究背景及意义
根据交通运输部发布的《2018年交通运输行业发展公报》报告显示，截至2018年末，全国公路桥梁85.15万座，5568.59万米，相对2017年增加1.90万座、342.97万米。一些大型的桥梁结构往往具有重大的社会、经济、政治价值，结构一旦发生破坏，往往会造成较大的社会影响，比如2018年10月份建成通车的港珠澳大桥，不仅缩短了粤港澳三地的通勤时间，且更重要的是拉近了港澳同胞与内地之间的联系。因此，为了保证桥梁的安全运营，需要对桥梁结构的安全进行检测评估、健康监测、必要时进行维护加固。为了使监测的数据能反映桥梁结构的工作状态，建立一个准确反映桥梁静动力特性的有限元模型是必不可少的前提。但是，初始有限元模型的计算结果往往与实测结果存在误差。
误差主要包含有限元建模误差和试验误差[1]。有限元建模的主要误差来源于建模参数的设置，依据施工图纸建立的有限元模型在一些参数值的设置上往往与实际值有出入，这些参数包括材料的密度、杨氏模量、边界条件、构件的几何尺寸等。试验误差主要包括试验设备固有的系统误差，人为测试误差等。
由于有限元建模误差和试验误差的影响，建立的初始有限元模型计算结果往往与实际结构响应误差较大，不能真实的反映实际结构的受力状态，因此，需要对初始的桥梁结构有限元模型进行修正。在实际工程应用中，一般认为试验数据更为准确和可靠。以实测的静动载试验数据为基础[2, 3]，去修正有限元分析模型中的参数，使有限元计算结果尽可能的与实测结果相近，这一过程即为有限元模型修正，修正后的有限元模型能更好的反映实际结构的静动力特性。
本文以一座飞燕式梁拱组合桥为工程背景，基于实测的静动载试验数据，对该桥进行了有限元模型修正。修正后的有限元模型可以作为该桥的基准有限元模型，具体可以应用在以下几个方面：（1）结构健康监测和安全性评估；（2）结构的损伤识别；（3）结构复杂响应再分析，比如抗风、抗震等；（4）结构的优化设计等。本文的研究方法可为其它实际桥梁结构的有限元模型修正提供参考，具有较大的理论意义和工程实用价值。
1.2有限元模型修正技术研究现状1.2.1有限元模型修正概述
有限元模型修正技术最早由Gravitz[4]在1958年提出，从此有限元模型修正技术开始了飞速发展。该技术最早在航空航天、机械工程等领域运用较多。经过几十年的发展，借助于计算机仿真技术，使有限元模型修正技术得到了很大的提高和发展，如今已逐渐从航空航天、机械工程等领域扩展到土木工程领域。
有限元模型修正技术根据模型修正对象的不同，可以分为矩阵型修正方法和设计参数型修正方法。矩阵型修正方法是对有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵进行直接的修正。矩阵型修正方法在修正过程中会破坏原矩阵的稀疏性和对称性，使得修正后的模型没有明确的物理意义，限制了矩阵型修正方法广泛的运用于工程实际中。设计参数型修正方法解决了矩阵型修正方法改变矩阵稀疏性和对称性的缺点。在设计参数型修正方法中，模型修正问题表现为优化问题，即把实测和理论数据之间的误差作为目标函数，改变事先选定的有限元模型的物理参数使得目标函数最小化，达到有限元模型修正的目的[1]。
随着模型修正技术的发展，出现了静力修正法、动力修正法、联合静动力修正法、响应面修正方法。
1.2.2基于动力的有限元模型修正
基于动力的有限元模型修正技术就是根据现场动载试验所釆集得到的频率、振型等动力数据来修正初始有限元模型中的物理参数，使得修正后的结构有限元模型计算的动力响应与结构实测动力响应的差异最小，从而实现基于动力的有限元模型修正。但是该种方法运用到高阶频率的修正时，精度会受到影响，可能会出现漏频现象。
任伟新[5]基于环境振动试验，采集到了大跨度斜拉桥的前12阶频率。以实测数据为基础，通过调整理论模型的索力，研究桥面板的影响，探讨钢梁与混凝土桥面板的横向剪力连接，研究端部纵向约束的影响来对理论有限元模型进行了修正。经过调整后的有限元模型计算值与实测值吻合较好。
范立础[6]等参照虎门大桥，以实桥1/150的几何比例建立了实验室悬索桥模型。振动试验中，通过电扇吹风模拟环境激励，采集到了结构的前11阶自振频率。运用一种线性化的迭代修正方法，对动力特性频率进行了修正。修正后的理论频率与实测频率最大误差为4.8%。
林鸣[7]等以岳阳洞庭湖大桥岳阳侧桥塔为研究对象，通过环境振动试验获得了桥塔的前6阶振动频率。利用梁-实体单元建立了桥塔的初始有限元模型。通过灵敏度分析选取上、中、下塔柱的弹性模量和上、中塔柱的密度为待修正参数，以ANSYS自带的优化算法对桥塔的前6阶频率进行了修正。修正之后，频率误差均控制在了3%以内。
李志刚[8]等通过现场环境振动试验及模态识别得到了一座异型斜拉桥的前4阶竖弯、1阶平弯、1阶扭转的频率。基于实测数据，以频率残差和振型残差为目标函数对该桥初始有限元模型进行了修正，修正后的频率计算值与实测值吻合较好。
林贤昆[9]等以张家港河大桥为对象，通过模态试验获得了前10阶的模态参数。定义了包含频率和振型相关系数的多目标函数，利用实数编码加速遗传算法对该桥初始有限元模型进行了修正。修正结果表明，采用实数编码加速遗传算法对提高模型的精度和计算效率有较好的作用，修正后的有限元模型能较准确的反映桥梁实际的动力特性。
夏品奇[10]基于一座具有圆弧桥面、单偏置斜塔的斜拉桥，分别建立了该斜拉桥的“脊骨梁”有限元模型和“完整”有限元模型，以实测频率为目标，分别对其进行了修正。文中的“完整”有限元模型与“脊骨梁”有限元模型相比，桥面的惯性特性、扭转特性和弯曲特性能较好地反映出来，比较符合桥面结构的真实情况。修正的结果表明，“脊骨梁”模型修正参数变化太大，失去了本身的物理意义，“完整”有限元模型修正结果较好，修正后的频率误差都小于10%。
张启伟[11]基于江阴长江大桥环境振动所得的测量值，采用二次规划算法对初始有限元模型进行了修正，修正后的模型的动力特性更加接近于实测值。
ALTUNIŞIK A C[12]等基于一座木桥的环境振动试验，获得了该桥的前六阶频率。通过调整结构各构件弹性模型、剪切模量、泊松比的参数值，将木桥动力响应频率计算值与实测值的最大误差由34.55%降到了4.26%。
ZIVANOVIC S[13]等建立了一座人行天桥的初始有限元模型，将其频率计算值与实测值进行对比，发现有两阶竖向反对称振型的频率误差较大。通过在合理的范围内去调整结构24个参数的值，将实测前7阶的频率值与计算值得误差控制在了2%以内。
1.2.3基于静力的有限元模型修正
基于静力的有限元模型修正方法与基于动力的有限元模型修正方法类似，二者的区别在于目标函数包含的对象不同，前者是以结构的静力响应（挠度、应变等）为目标函数，后者是以结构的动力响应（频率、模态柔度等）为目标函数。两种修正方法在思路上是大体一致的，修正的原理可以这样去描述，即在建立结构的有限元模型之后，基于结构荷载试验的实测数值，通过不断迭代计算，不断调整结构有限元模型的参数如材料参数和几何特性等，使得结构有限元模型计算的静动力响应与结构实测的静动力响应的差异最小，从而实现有限元模型修正。基于静力有限元模型修正由于静载试验荷载工况的有限性，使得静力响应具有局部化的特征，就可能使得模型修正的结果不能全面反映结构的整体特性，只能反映静载试验中车辆荷载作用位置的局部区域的特性。
钟颖[14]对南阳市内瑞河桥（东桥）进行了有限元模型修正。瑞河桥（东桥）初始有限元模型计算结果与实测值最大误差达到了68.51%，经过修正后，最大误差降到了37.02%，说明经过修正后的有限元模型的静力特性与实测的静力特性更加吻合。
向天宇[15]以一座两跨预应力混凝土连续梁为研究对象，基于该桥的静力测试结果，应用有限元模型修正技术，对该桥进行了损伤识别。
任伟新、邓苗毅[16]依据静力荷载试验挠度测试结果，对一座五跨连续箱梁桥进行了有限元模型修正。修正参数选择的是梁截面抗弯刚度，修正后的计算挠度与实测挠度吻合较好。任伟新、邓苗毅[17]还基于一片简支梁桥的静载试验数据，建立了包含实测挠度、转角和曲率的目标函数，采用序列二次规划法求解非线性优化问题，识别了梁结构的分段抗弯参数。
李旺东[18]对某上承式混凝土拱桥进行了有限元模型修正。修正后的静力响应应变值与实际测量的应变值更加吻合。基于修正后的有限元模型，计算了该拱桥的极限承载力。
崔飞[19]等以桥梁结构模型中各单元的等效面积、惯性矩以及板壳单元的厚度作为识别参数。以一试验桁架桥实测的位移与应变为目标，进行了物理参数的识别。
1.2.4联合静动力的有限元模型修正
单独的基于静力或者动力进行模型修正都存在一定的不足，所以相关研究人员考虑了将静力和动力的实测信息结合在一起去构造目标函数，这样做的优点是兼顾到了结构整体和局部的力学特性，进一步增大了参数识别结果的有效性和可靠性。
任伟新、谢瑞杰[20]以静力响应位移和动力响应频率的残差构造目标函数，对一系杆拱桥进行了模型修正。结果表明，联合运用静力和动力测试数据进行模型修正取得了好的效果，修正后的模型更准确地反映了结构的静动力特性。
宗周红、夏樟华[21]提出了一种联合动力模态柔度和静力位移的有限元模型修正方法。将此方法运用到一座加固后的刚架拱桥，修正结果表明这种联合静、动力的有限元模型修正方法具有比较好的模型修正效果，修正后的有限元模型可以作为该桥的基准有限元模型。
田仲初[22]等运用联合静动力的分层次有限元模型修正方法对佛山东平大桥进行了模型修正。该种方法的特点是有限元模型修正分两步完成，第一步先对该桥进行基于静力的有限元模型修正，在第一步完成的基础上进行第二步，对该桥进行基于动力的有限元模型修正。分析结果表明，联合静动力的分层次有限元模型修正能取得较好的效果。
邬晓光[23]等考虑了静动力各自权重的问题，提出一种基于灵敏度分析计算静动态分项指标权重，综合运用静动力单目标函数动态权重系数的静动力联合修正方法。运用该方法对一曲线梁桥进行了模型修正。结果表明，与传统的联合静动力有限元模型修正方法相比，此种改进的修正方法精度更高。
岳笛[24]基于重庆石板坡长江大桥复线桥静动载试验数据，联合位移和频率构造目标函数对该桥进行了模型修正，修正后的静动力特性与实测值吻合较好。
翁尚彬[25]以重庆菜园坝长江大桥为依托，利用实桥静动力试验数据，将基于形函数法的参数选取和分组方法和基于NAGA-II的多目标函数优化算法相结合，对该桥的初始有限元模型进行了修正。
1.2.5基于响应面的有限元模型修正
基于响应面方法的有限元模型修正，是统计理论和模型修正技术的结合，该方法通过试验设计计算，得到输入参数和结构响应之间的显示函数关系式（响应面模型），用此响应面模型代替有限元模型，实现结构模型参数的优化修正。基于响应面的模型修正方法与传统的修正方法相比，提高了计算效率，不用每次计算都去调用有限元模型，而是在响应面模型上进行迭代，实现结构模型参数的优化修正，同时这种方法还能解决传统模型修正方法在对参数灵敏度分析时容易陷入局部最优解的问题。
任伟新、陈华斌[2]利用响应面方法对一六跨连续梁桥进行了模型修正。修正的结果表明，基于响应面的有限元模型修正方法实用性较强，与传统的基于灵敏度分析的有限元模型修正方法相比，可以显著提高有限元模型修正的效率。任伟新、邓苗毅[26] 以一片连续梁结构的数值算例模型，介绍了应用响应面方法对结构进行有限元模型修正的一般过程。任伟新、魏锦辉[27] 以常德市白马湖公园虹桥为工程背景，构造包含静力位移和振动频率的联合目标函数，运用得到的显示函数表达式（响应面模型）对该桥进行了有限元模型修正。修正结果表明，基于响应面修正的该种方法可以实测值与计算值达到较好的吻合程度。任伟新、魏锦辉[28]还提出了一种基于具有全局收敛特性的自适应响应面的结构有限元模型修正方法，该方法可以有效避免在修正的过程中陷入局部最优点。
万花平[29]等将高斯过程响应面运用到有限元模型修正中。运用此方法对一数值悬臂梁进行了分析研究。研究结果表明，高斯过程响应面方法相对于传统响应面方法用于结构有限元模型修正精度更高，其应用于结构有限元模型修正更具优势。
周林仁、欧进萍[30]对某三塔四跨半漂浮体系的斜拉桥展开了有限元模型修正，建立了待修正参数和特征量关系的径向基函数响应面模型。修正结果表明，采用该方法拟合斜拉桥设计参数与特征量之间的关系有较高的精度和抗噪能力。
钟儒勉[31]等采用两阶段响应面的方法对某斜拉桥展开了模型修正。两阶段响应面方法指的是将响应面方法分别应用于多尺度建模修正和模型参数修正中。运用该方法修正后的频率与实测频率吻合较好。
万利军[32]等基于某连续-刚构组合桥，采用D-最优设计和中心复合设计分别对该桥进行了模型修正。修正后的结果表明通过两种方法拟合得到的响应面模型精度都满足要求。但是，在待修正参数较多时建议采用D-最优设计进行响应面模型的拟合。
1.3本文的主要工作
本文以安徽省阜阳市颍河大桥主桥为工程背景，基于通车前荷载试验实测数据，应用响应面的方法对该桥进行了有限元模型修正。修正后的模型能更真实的反映结构的静动力特性，可以应用与该桥日后长期的健康监测与状态评估等方面。
论文全文共分为六章，每章的主要内容如下：
（1）第一章是绪论，主要阐述了本文的研究背景及意义，对有限元模型修正的研究现状进行了介绍。
（2）第二章是基于响应面模型的修正理论，介绍了基于响应面的有限元模型修正方法的原理与步骤。重点介绍了试验设计、参数显著性检验、响应面函数形式的选择与拟合以及响应面模型验证。
（3）第三章是工程概况及成桥荷载试验，介绍了颍河大桥主桥静动载试验，获得了该桥真实的静、动力特性。
（4）第四章是颍河大桥主桥初始有限元模型。首先，分别采用梁格法、单主梁法、壳单元法建立了一座曲线连续梁桥数值算例，以壳单元计算结果为参考，比较了梁格法和单主梁法支座反力的计算结果，结果表明在分析桥梁上部结构时，梁格法与单主梁法相比具有更高的计算精度。然后，根据颍河大桥主桥原始设计图纸，采用梁格法建立了该桥的初始有限元模型。但是，建立的初始有限元模型在自重工况下的吊杆索力与实测索力误差较大，于是本文采用一种迭代法对吊杆索力进行了修正，修正后的吊杆力与实测值吻合较好，所有吊杆力的误差均控制在了3%以内。最后，对修正吊杆力后的有限元模型静动力特性与实测结果进行了比较。
（5）第五章是基于响应面的有限元模型修正。本章采用响应面方法对有限元模型进行了修正，并用其余两种静载试验工况对修正效果进行了检验。
第二章 基于响应面模型的修正理论2.1 引言
响应面方法（Response Surface Method,RSM）最早由Box和Wilson提出[33]，是一项基于统计学分析的综合实验技术，最早运用在化学、生物学、环境科学等领域。
响应面方法的概念可以表述为[33, 34]：在变量的设计空间内，采用回归分析法对样本点处的响应值或试验值拟合，得到模拟真实极限状态曲面的响应面，在进一步的问题分析和求解中替代有限元模型或其他复杂模型进行更有效设计或计算的一种方法。
随着响应面方法理论的不断发展和完善，响应面方法逐渐开始在土木工程领域应用于有限元模型修正和有限元模型确认。响应面模型把结构参数和结构响应之间用显示函数表达式联系了起来，结构参数相当于函数的自变量，结构响应相当于函数的因变量。
建立响应面模型后就可以在响应面模型上进行迭代计算，而不用去进行大量的结构有限元计算，避免了因结构的有限元数值计算带来的一些不足和缺陷，提高了计算效率和精度。
修正过程中涉及三个关键问题：（1）试验设计；（2）参数筛选；（3）响应面函数形式的选择与拟合。
2.2 响应面实验设计基本原理
试验设计是一种安排试验和分析试验数据的数理统计方法。通过对试验的合理安排，能以较小的试验规模和较少的试验次数，较短的试验周期和较低的试验成本，得到理想的试验结果和得出科学的结论。
在选择试验设计方法时，理想的参数试验设计应满足以下几点[35]：
（1） 确定必要的系统参数（试验因素）；
（2） 恰当地确定系统参数水平，避免系统参数太多的水平；
（3） 参数设计取值合理，并且计算简单；
（4） 在整个系统参数变量的可能范围内能够提供试验点的合理分布；
（5） 不需要大量的系统实际试验。
常用的响应面实验设计方法包括：全因子设计、部分因子设计、中心复合设计(central composite design，CCD)、BBD(Box-Behnken Design)设计、D-最优设计、正交设计和均匀设计等。
2.2.1 全因子试验设计
全因子实验设计是指在一次完全实验中，所有因子的所有水平的组合都至少要进行一次实验。例如，试验在一项试验中有k个因子，每个因素有e个水平，则全因子试验最少需要ek次。如某试验的因子3个，每个因子水平数也是3个，则此试验若进行全因子试验须33=27次（空间试验分布点如图2.1所示）[35]。
全因子试验设计具有以下三个特点：
（1） 全因子试验是所有因子的水平的完全组合；
（2） 全因子试验所需的试验次数为ek即以水平数为底，因子为幂的指数；
（3） 因为全因子试验是完全组合，结论是最真实可靠的。
由于全因子试验设计包含了所有的组合，所以全因子试验所需试验的总数会较多。例如4因素4水平时，所需试验次数为256，这个计算量是较大的。所以，全因子试验设计不适用于因子数和水平数均较多的场合。
图2.1 33全因子设计空间试验点分布
2.2.2 中心复合设计
中心复合设计（简称CCD）是最常用的响应曲面试验设计。它由2k个因子点（也称立方点，其中k为因子数）、2k个轴点（也称星形点）和n个中心点组成[36]。下面以2因子中心复合试验设计为例对三种点加以说明。
（1）立方点，即2水平对应的“-1”和“+1”点，各坐标皆为+1或-1。用于估计线性和交互作用效应，而不估计弯曲。在k各因子的情况下，共有2k个立方点，如图2.2所示；
图2.2 立方点
（2）轴向点，又称星号点，分布在轴向上。记为（+a，0）、（-a，0）、（0，+a）、（0，-a）。用于估计二次项。在k各因子的情况下，共有2k个立方点，如图2.3所示；
图2.3 轴向点
（4） 中心点，即设计中心，在坐标轴上表示为（0，0）。添加中心点可以检查拟
合数据中的弯曲。将三种点集成在一个图上，如图2.4所示。
图2.4 中心复合试验点分布
中心复合设计在使用时一般按照三个步骤进行试验：第一步，先进行2水平全因子或部分因子试验设计；第二步，再加上中心点进行非线性测试；第三步，如果发现非线性影响为显著影响，则加上轴向点进行补充试验以得到非线性预测方程。
使用中心复合设计，不仅可以评估因子的非线性影响，还可以获得正交区组和旋转的合意设计属性[37]。
正交区组：通常，中心复合设计会在多个区组中运行。中心复合设计能够以正交方式划分区组，从而可以独立估计模型项和区组效应并最大限度地减少回归系数的变异。
可旋转：可旋转的设计提供了所希望的属性，即距设计中心等距离的所有点处的预测方差是恒定的，由此提高了预测质量。
2.2.3 D-最优设计
模型的精度可以通过方差-协方差矩阵V(b)来表示：
(2-1)
式中为标准差，从统计学角度看，D-最优设计即使的行列式最大化。
D-最优设计具有以下各个特点：（1）在确定样本点之前，必须先确定响应函数模型；（2）各个因子的试验水平可以不相同，同一因子各水平间间距可以不相同；（3）可以在先前的试验点样本中并入新的参数试验点；（4）可以从试验表中去除不能实现的边界点。
2.2.4 BBD设计
BBD设计和中心复合设计(CCD)类似，都是旋转性的响应面设计方法[38]。BBD设计设计是将因子各实验点取在立方体棱的中心上，以三因子BBD设计为例，其空间试验设计点的分布如图2.5所示。
图2.5三因子BBD设计空间试验点分布
BBD设计具有以下几个特点：
（1） 可以评估因子的非线性影响；
（2） 具有旋转性，但是没有序贯性；
（3） 没有将所有试验因子同时安排为高水平的试验组合，对某些安全要求或特别
需求的试验尤为适用。
BBD设计与中心复合设计相比，不存在轴向点，所以在实际试验设计时因子的水平不会超过设定的安全范围。而存在轴向点的中心复合设计却存在生成的轴向点可能超出安全操作区域。
2.2.5正交设计
正交设计（Orthogonal Array，OA）是由日本统计学家，田口玄一博士于1949年提出的一种安排和设计试验的实验设计方法，该方法的思想是根据田口玄一博士制定的一套正交设计表格，从全部的实验数据中选取一些代表点进行试验，他们能够在实验范围内反应参数因子和响应量之间的关系[39]。
正交设计点具有“均衡分散性”和“整齐可比性”。整齐可比性是指每一列中所有数字出现的次数是相等的。均衡分散性指任意两列间横向组合的数字对搭配次数相等。例如，对于一个3因子3水平的试验，若进行全面的试验，则试验方案包含了33个水平组合。如果利用正交表去安排试验，则需要9个水平组合。红色点代表通过正交表选择的试验点，如图2.6所示。
图2.6 三因子三水平正交试验点分布
2.2.6均匀设计
在正交设计中，试验点的均匀分散性会受到一定的限制，有时会导致正交表筛选出的试验点代表性不够强，即得到的试验信息不够全面。中国学者方开泰教授和王元院士在基于正交试验的基础上，1978年提出了一种只需考虑试验点在实验范围内均匀散布的均匀实验设计方法[40]。
均匀设计表格的布点方式有两大特点：一是每个参数的每个水平（取值）做一次仅做一次试验；二是任两个参数的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。
均匀设计被有效的应用在了我国飞航式导弹的设计中，不仅使试验、设计周期大大缩短，还节约了大量的费用。
2.3 参数显著性检验
在试验设计时所需要做的试验次数与参数因子的个数成指数上升的关系。在一个试验设计过程中，人们尽量想用最少的参数和最少的试验次数即可准确地考察参数和响应量之间的关系。对于不同的结构形式，影响其响应量的参数因子各不相同，所以在有限元模型修正过程中选择对响应量影响显著的参数因子，剔除对响应量影响不显著的参数因子，从而有效地减少响应面函数的拟合系数，减少计算量，提高响应面模型精度。
基于响应面方法的有限元模型修正主要采用方差分析方法筛选对响应量影响显著的参数。方差分析方法与传统的灵敏度分析方法相比，方差分析方法是从全局的角度出发，在整个设计空间挑选对特质量有显著影响的参数；而基于灵敏度的分析方法只能计算局部的灵敏度，得到的结果有时并不一定是全局的最优解。
基于响应面方法的有限元模型修正主要运用F检验法进行方差分析。F检验是由英国统计学家费歇尔1932年提出的[41]。F检验法的基本思想是将样本数据的总偏差平方和SST分解为回归平方和SSR以及误差平方和SSE，然后求出F值，应用F值检验法进行假设检验，筛选出对响应量影响显著的参数。
设回归模型包括个自变量,,,···,，如果增加一个变量到这个模型上，则检验的统计量F为：
(2-2)
式中，为包括个自变量,,,···,的回归模型的误差和，为包括个自变量的回归模型的误差平方和，为回归模型所有自变量总个数。
如果变量对响应的影响不显著，那么回归模型中该变量的待定系数应为0因此，检验对响应量影响显著的参数，就相当于检验其系数是否为0。
在给定显著水平（如=0.05）下，取：
(2-3)
若)，即P0.05，拒绝其系数为0的假设，认为在显著水平=0.05下，该参数对响应量影响显著；
若)，即P0.05，接受其系数为0的假设，认为在显著水平=0.05下，该参数对响应量影响不显著。
2.4 响应面函数形式的选择与拟合
响应面函数的形式在基于响应面的结构有限元模型修正中占有很重要的地位，通常要求所选择的响应面函数要满足以下两个要求：
1、表达式可以表达系统的输入参数和输出响应之间的关系，并力求简单；
2、表达式中待定系数要尽量的少，以降低计算次数与试验次数。
响应面模型有很多种，常见的有多项式、非线性函数、幂函数、BP 神经网络模型、径向基函数、多元适应性回归样条函数等。下面介绍常用的多项式响应面模型。
假设系统的响应特征量y为因变量，(i=1,2,···,k)为方差分析筛选出的k个设计参数，多项式响应面模型的形式如下[42]：
(2-4)
式中，，(，、分别为设计参数取值范围的上边界和下边界，、、、、、、为各待定系数。
目前，用于桥梁工程的响应面模型通常采用二阶多项式响应面模型。本文也将采用二次多项式建立响应面模型。二阶多项式响应面形式如下：
(2-5)
多项式响应面模型中，一到三阶响应面函数形式、参数个数及待定系数个数之间的关系如表2-1所示。
表2-1 响应面函数形式、参数个数及待定系数个数之间的关系
参数个数 一阶多项式响应面函数待定系数个数 二阶多项式响应面函数待定系数个数 三阶多项式响应面函数待定系数个数
2 3 6 10
3 4 10 20
4 5 15 35
5 6 21 56
表2-1 响应面函数形式、参数个数及待定系数个数之间的关系（续）
参数个数 一阶多项式响应面函数待定系数个数 二阶多项式响应面函数待定系数个数 三阶多项式响应面函数待定系数个数
6 7 28 84
7 8 36 120
8 9 45 165
9 10 55 220
10 11 66 286
2.5 响应面模型的判断与验证
由回归分析中的平方和分解公式可知：
(2-6)
式中：—样本数据总的偏差平方和；—回归平方和；—误差平方和
(2-7)
为相关系数的平方和，记为，其值在0~1之间且越接近1说明实验结果越理想。但当自变量个数增加时，无论该自变量对响应量是否显著，的值都会增加，当需要对模型进行修改，在判断是否要剔除或者添加该自变量时，的参考价值就没意义了，由此引入作为响应面模型拟合的共同判断标准。
(2-8)
—观测值的总个数；—回归方程中的总项数（包括常数）。
同样的值也在0~1之间且越接近1说明实验结果越理想，响应面模型拟合的好坏可从和的接近程度来判断，两值越接近1且两者之间的差值越小，说明模型越好[43]。
2.6 本章小结
基于响应面的有限元模型修正相对传统模型修正方法有着自己独特的特点。本章介绍了基于响应面方法的有限元模型修正的相关理论基础。重点介绍了全因子试验设计、中心复合设计、D-最优设计、BBD设计、正交设计、均匀设计、参数显著性检验、响应面函数形式的选择与拟合、响应面模型的判断与验证。
第三章 工程概况及成桥荷载试验3.1 颍河大桥主桥工程概况
向阳路颍河大桥主桥位于阜阳市市区，跨越颍河，连接颍东区与颍州区，桥梁上距颍南公路桥约1.3km，下距京九铁路桥约75m。颍河大桥主桥跨径布置为（47+148+47）m，全长242m，结构类型为飞燕式梁拱组合桥。整体效果如图3.1所示。
图3.1 颍河大桥主桥整体效果图
拱圈截面为矩形钢箱结构，拱圈轴线为二次抛物线形，矢跨比为1:4。拱脚位置处拱圈上、下缘线为二次抛物线与圆弧线的组合线形，靠近中墩处，上缘采用半径220m的反切圆弧对拱圈上缘线进行过渡，顺接至边跨；下缘采用半径125m的正切圆弧与顺接拱脚箱梁。中墩处采用镂空处理，局部采用小半径圆弧线进行过渡。横桥向，全桥由双片拱圈组成，拱圈间距为35m。双片拱圈间通过两片组合起来的门式风撑进行连接，保证拱圈的横向稳定性。单片拱圈主体部分为矩形截面，拱圈高度为2.4m，横向宽度为2.0m，宽度与系杆（钢纵梁）宽度一致。拱圈截面，腹板、顶底板钢板厚度均为20mm，拱脚处顶底板加厚至24mm. 拱圈内部均采用I型加劲肋，加劲肋高度为180mm，钢板厚度为16mm，顶底板、腹板加劲肋间距为400mm。拱箱内，顺桥向每隔2m设置一道横隔板，横隔板平面与拱轴线垂直，隔板厚度为20mm，隔板中心采用挖空处理，便于后期检修人员出入。挖空孔洞边缘采用长200mm、厚度12mm的钢板包裹一圈进行加劲处理。在吊杆处另外设置吊杆加劲隔板，与吊杆轴线方向一致。拱圈整体构造布置图如图3.2所示。
图3.2 主桥拱圈布置示意图（单位：mm）
桥梁中跨桥面系采用正交异性钢桥面板结构形式。桥面板厚度为16mm，横桥向采用高强螺栓与钢纵梁（系杆）进行栓接。桥面板由5根I型小纵梁进行支撑，小纵梁梁高为1750mm,间距为5.1或5.7m，钢板厚度为20mm。小纵梁之间再设置U型加劲肋，U肋采用8mm钢板压制成的U形闭口肋，闭口肋顶宽300mm，高280mm，底宽170mm，闭口肋的间距为600mm。横梁采用整板式的横隔板，横隔梁间距为3.0m。横梁厚度均为20mm。横梁与两侧主系梁通过高强螺栓连接。中跨钢箱梁共分为22个梁段，节段标准长度为6m。梁段间钢结构工地接缝均为焊接。吊杆与钢梁的锚固结构为全焊结构。主桥标准横断面如图3.3所示。
图3.3 主桥标准横断面布置示意图
主桥钢纵梁梁高2.5m，宽2.0m。纵梁顶底板、腹板均为24mm厚钢板。钢纵梁顶底板均采用I型加劲肋，加劲肋高度为170mm、厚14mm钢板焊接成。每侧钢纵梁内设置四束体外预应力钢绞线，组成结构的柔性系杆体系。
主桥边跨部分采用钢箱梁结构形式。主墩处梁高为5.5m，通过16m的二次抛物线过渡段，向边墩方向过渡至2.5m梁高。横桥向为单箱八室结构。其中外侧两室宽度为2.0m，与主跨钢纵梁对接，其他6室宽度分别为：5.7m、5.1m。箱梁内腹板均为厚度
