【原创说明】
BLS签名在英文文档介绍的比较多，但是很多讲得并不清楚，通常需要查看原有的论文，对应后学习，对一般的程序员要求比较高。这里整理了一下本人在学习bls签名过程中的详细推导过程，自认为比较容易理解一些。跟大家共享一下，也是为墨客的随机数子链做一些技术层次的科普铺垫。在阅读本文的内容前，读者可以先简单复习一下常见的椭圆曲线公私钥生成算法，用来对比BLS，会有助于理解本文的内容。
【正文】
先简单介绍一下BLS签名。BLS的签名采用曲线对的方式可以验证两个（或者同一个）曲线上的点对符合乘法交换律：
e(P, Q) → n
e(x×P, Q) = e(P, x×Q).
在BN曲线上面可以表示成：
与传统的椭圆曲线不同，BLS的创新点在于让hash H(m)也能够对应于BN曲线上的一个点。这个映射空间大致是2：1的关系，可以很容易的处理。实现细节不重要，就当个结论记一下。另外，简单起见，本文里面提到的BLS签名和阈值签名不做区分。
阈值签名（threshhold sig）本质是m-of-n的签名方式，在知道m个签名的条件下，可以合成唯一一个合法的签名。任意m个签名片段的组合都是同一个可验证的签名。而且，由于每个人只有一个私钥片段，需要m个私钥片段组合在一起才能形成一个合法的完整的私钥。如果少于m个私钥片段在网络中共享的话，就不会有任何一个个人知道这个完整的私钥。
这里最基本的数学原理其实很简单，就是利用m个变量的多项式方程在m个条件下可解。如果系统中有n>m个条件，任意m个条件都可以得出一个唯一确定的解。当然，如果小于m个条件就不可解。
这里首先涉及到一个可验证私钥片段分发的问题（VSS）。每个节点独立产生自己的私钥片段，然后将可验证的公钥广播出去，以及系统中其他节点需要验证本地节点的可靠性的信息。这个公/私钥片段分发验证的过程在初始化阶段做一次即可（除非节点数变化，则再需要分发一次）。这个流程如下：
1、每个节点生成一组私钥r0, r1, …, rm-1 r = a, b, c, d, … 这些私钥是一个m阶多项式的参数
每个节点对其他节点x=1,2,…,n生成多个多项式的值Fr(x)，x最简单的情况就是用其他节点的编号。生成后在私底下秘密传递给相对应的节点（一般可以通过用对方的非对称公钥加密后发送）：
这样每个节点拥有n个共享私钥（用于解方程的条件）。这些私钥不能暴露给第三方。
3、每个节点公开公钥信息
4、每个节点可以验证Fr（x）收到的是否正确，以a为例，验证方法为：
5、如果验证有错，广播错误，这里会涉及一些反馈以及contest的过程。
6、如果所有的节点的验证都没有错误，每个节点达成一致，每个节点本地获得的信息如下表：
7、这样，系统中的全局私钥为（Ao+Bo+Co），全局公钥为g×（Ao+Bo+Co）。但是没有一个人能够知道全局私钥。如果知道了m个共享私钥片段Fr（1...m），就可以计算出全局私钥.
有了这个基础，我们就可以实现第一个应用。
应用1：创建一个聚合私钥(m-of-n)，每个人有自己的私钥片段，只有在收集>m个私钥片段后，才可以得到全局私钥，来对全局公钥对应的钱包地址的操作进行签名。这个可以用来配置一些需要多方控制的钱包。
但是这里有个问题，因为在使用的时候，需要m个私钥片段的合成。这个过程可能会导致m个片段为公众知道，所以，这样的应用实用性不强，因为一旦大于m个私钥片段公布在网络中，任何一个人就可以算出来全局私钥，那么辛辛苦苦经历步骤1-6的过程只能使用一次，代价太大了。
这里，就需要用到BLS签名的长处了。具体的做法是，节点不应该公布共享私钥信息，而只是公布签名信息。这样，共享私钥可以一直使用，每个人可以验证签名的有效性。而全局私钥却没有人能够知道。这个就是threshold 签名。
具体的做法如下：
这样任意m个Hr（s）可以计算出（Ao+Bo+Co），这个就是信息s的全局签名。
下面以具体的例子来说明。比如对于 m=2，n=3的情况，
如果已知两个节点的签名片段A，B：
节点1的签名片段A
节点2的签名片段B
由：
可得到：
所以：
那么这里的阈值签名就是
签名的数值就是公开的两个签名片段的数学运算
每个人都可以验证这个签名的合法性。注意，这里用到了前面提到的特性，就是H(s)也在曲线上面。这也是为什么BLS签名能够工作的本质。
同样的，如果公布了节点1的签名片段A和节点3的签名片段C，阈值签名就应该是：
可以证明，这个签名和前面的是一致的。
由此，我们可以实现第二个应用。
应用2：创建一个随机数区块链，区块链的每个共识节点通过初始化实现VSS，每个节点有自己的私钥片段。然后每个节点对某个信息（交易集合，或者预定义信息）进行签名。节点在收集>m个签名片段后，就可以合成全局签名。这个签名可以很容易通过全面公钥来验证。在这个过程中，全局私钥没有任何人知道，但是这个签名的结果是多个节点认可的结果。如果以这个全局签名作为随机数源，这个随机数就是一个共识的结果，而且无法被单个人篡改。而且，这个是可以持续安全地产生随机数，只要每轮给出不同的信息来签名。
BLS签名在英文文档介绍的比较多，但是很多讲得并不清楚，通常需要查看原有的论文，对应后学习，对一般的程序员要求比较高。这里整理了一下本人在学习bls签名过程中的详细推导过程，自认为比较容易理解一些。跟大家共享一下，也是为墨客的随机数子链做一些技术层次的科普铺垫。在阅读本文的内容前，读者可以先简单复习一下常见的椭圆曲线公私钥生成算法，用来对比BLS，会有助于理解本文的内容。
【正文】
先简单介绍一下BLS签名。BLS的签名采用曲线对的方式可以验证两个（或者同一个）曲线上的点对符合乘法交换律：
e(P, Q) → n
e(x×P, Q) = e(P, x×Q).
在BN曲线上面可以表示成：
与传统的椭圆曲线不同，BLS的创新点在于让hash H(m)也能够对应于BN曲线上的一个点。这个映射空间大致是2：1的关系，可以很容易的处理。实现细节不重要，就当个结论记一下。另外，简单起见，本文里面提到的BLS签名和阈值签名不做区分。
阈值签名（threshhold sig）本质是m-of-n的签名方式，在知道m个签名的条件下，可以合成唯一一个合法的签名。任意m个签名片段的组合都是同一个可验证的签名。而且，由于每个人只有一个私钥片段，需要m个私钥片段组合在一起才能形成一个合法的完整的私钥。如果少于m个私钥片段在网络中共享的话，就不会有任何一个个人知道这个完整的私钥。
这里最基本的数学原理其实很简单，就是利用m个变量的多项式方程在m个条件下可解。如果系统中有n>m个条件，任意m个条件都可以得出一个唯一确定的解。当然，如果小于m个条件就不可解。
这里首先涉及到一个可验证私钥片段分发的问题（VSS）。每个节点独立产生自己的私钥片段，然后将可验证的公钥广播出去，以及系统中其他节点需要验证本地节点的可靠性的信息。这个公/私钥片段分发验证的过程在初始化阶段做一次即可（除非节点数变化，则再需要分发一次）。这个流程如下：
1、每个节点生成一组私钥r0, r1, …, rm-1 r = a, b, c, d, … 这些私钥是一个m阶多项式的参数
每个节点对其他节点x=1,2,…,n生成多个多项式的值Fr(x)，x最简单的情况就是用其他节点的编号。生成后在私底下秘密传递给相对应的节点（一般可以通过用对方的非对称公钥加密后发送）：
这样每个节点拥有n个共享私钥（用于解方程的条件）。这些私钥不能暴露给第三方。
3、每个节点公开公钥信息
4、每个节点可以验证Fr（x）收到的是否正确，以a为例，验证方法为：
5、如果验证有错，广播错误，这里会涉及一些反馈以及contest的过程。
6、如果所有的节点的验证都没有错误，每个节点达成一致，每个节点本地获得的信息如下表：
7、这样，系统中的全局私钥为（Ao+Bo+Co），全局公钥为g×（Ao+Bo+Co）。但是没有一个人能够知道全局私钥。如果知道了m个共享私钥片段Fr（1...m），就可以计算出全局私钥.
有了这个基础，我们就可以实现第一个应用。
应用1：创建一个聚合私钥(m-of-n)，每个人有自己的私钥片段，只有在收集>m个私钥片段后，才可以得到全局私钥，来对全局公钥对应的钱包地址的操作进行签名。这个可以用来配置一些需要多方控制的钱包。
但是这里有个问题，因为在使用的时候，需要m个私钥片段的合成。这个过程可能会导致m个片段为公众知道，所以，这样的应用实用性不强，因为一旦大于m个私钥片段公布在网络中，任何一个人就可以算出来全局私钥，那么辛辛苦苦经历步骤1-6的过程只能使用一次，代价太大了。
这里，就需要用到BLS签名的长处了。具体的做法是，节点不应该公布共享私钥信息，而只是公布签名信息。这样，共享私钥可以一直使用，每个人可以验证签名的有效性。而全局私钥却没有人能够知道。这个就是threshold 签名。
具体的做法如下：
这样任意m个Hr（s）可以计算出（Ao+Bo+Co），这个就是信息s的全局签名。
下面以具体的例子来说明。比如对于 m=2，n=3的情况，
如果已知两个节点的签名片段A，B：
节点1的签名片段A
节点2的签名片段B
由：
可得到：
所以：
那么这里的阈值签名就是
签名的数值就是公开的两个签名片段的数学运算
每个人都可以验证这个签名的合法性。注意，这里用到了前面提到的特性，就是H(s)也在曲线上面。这也是为什么BLS签名能够工作的本质。
同样的，如果公布了节点1的签名片段A和节点3的签名片段C，阈值签名就应该是：
可以证明，这个签名和前面的是一致的。
由此，我们可以实现第二个应用。
应用2：创建一个随机数区块链，区块链的每个共识节点通过初始化实现VSS，每个节点有自己的私钥片段。然后每个节点对某个信息（交易集合，或者预定义信息）进行签名。节点在收集>m个签名片段后，就可以合成全局签名。这个签名可以很容易通过全面公钥来验证。在这个过程中，全局私钥没有任何人知道，但是这个签名的结果是多个节点认可的结果。如果以这个全局签名作为随机数源，这个随机数就是一个共识的结果，而且无法被单个人篡改。而且，这个是可以持续安全地产生随机数，只要每轮给出不同的信息来签名。
