科普——张量：理解相对论的必备语言 (下)（转）

【注意】
为了达到科普的效果，
本文所用到的各类符号表示，
并非相对论中正规的符号体系，
打算进一步系统化学习相对论的同学，
请勿受本文所用符号的影响。

0) 前情提要
在本文的上篇中，我们提到了
狭义相对论的中心思想，
在于两大基本假设中看似平凡的第一条：
所有惯性系中，物理定律具有相同形式。
但紧接着，我们却在一个
运动的带电小球的例子中疑似被打脸，
因为不同参考系下，
带电小球竟然会激发出不同的电磁场，
且看起来也对应着不同的物理定律。
为了解释这个貌似违背相对论的现象，
我们提到，电磁场变化的背后，
只不过是一个不变的神秘物理量
在不同参考系下的“投影”在变化。
而这个神秘物理量，
就是本文主角：电磁张量。
而为了更直观理解什么是张量，
我们在上篇中通过一块木板形变的例子，
从图形上大致理解了张量的含义，
以及它的“投影”如何随坐标系变化。
但是上篇仅是面向普通票友的普及篇，
主要的解说方式，是图形和文字描述，
读来显然很难让人大彻大悟。
而作为一群进阶票友，
如果不能在数学上更进一步
清晰感受张量“投影”的奇妙变化，
实在是人生一大憾事。
所以我们来到了这个下篇，也是进阶篇。
在进阶篇里，我们将从数学上真正理解
物理定律不随参考系变化这种美妙性质。
另外，鉴于本文将出现很多矩阵运算，
为了防止各位迷失在矩阵中失去方向，
建议没有看过上篇的同学先去过一遍，
明确感受一下我们要讨论的物理图景，
然后再进入数学世界去清晰认识它。

1) 线性代数中的两个故友
老夫在上篇里提到过，
作为理解张量及张量变换的铺垫，
正式进入数学部分之前，
我们要先回到线性代数课堂，
去会一会两个故友。
第一个是坐标变换 (又叫基底变换)。
即一个向量在不同坐标系下的
“投影”(坐标分量)之间的变换关系。
为了直观理解，我们用最常见的
二维平面上的坐标旋转来作为例子回顾。
假设有一个平面直角坐标系 XY ，
两个方向上分别定义了基向量
那么对于某个向量 a ，
它在给定了坐标系以及基底的情况下，
可以表示为两个方向的分量形式，
(就像中学物理做力的正交分解时那样)
写成列向量，就是：
现在我们把两个坐标轴
绕原点旋转一个角度θ ，
得到新的坐标系 X'Y'：
那么我们可以看到一个很重要的事实：
向量本身没有发生旋转，
它自己还是原来那个向量 a ，
但它的分量在新坐标系下却会发生变化。
这就好比是我们从不同角度去拍一个人，
不管怎么拍，人还是那个人，
但换个角度却可以拍出鬼哭狼嚎的效果：

上面的例子是在胡说八道，别信。
下面才是正经的。
我们将新坐标系下的分量记为：

那么可以证明 A' 和 A
的关系为：

这可以从图中的几何关系推导出来。
(证明过程一点也不难，
各位不妨自己动手试试，
或者找个刚考完线性代数的
大一学妹帮你解决也行)
如果将上面的式子表示成抽象形式，
则是：A'=RA
其中，
称为坐标旋转变换矩阵。
刚才讨论的是列向量，
如果将向量写成行向量，比如 B=[b1,b2] ，
则可以证明它的变换规则为：
即：
( RT 即 R的转置，希望各位还没忘记)

接下来，我们将迎来
可能已经被各位遗忘了的
线性代数中的第二个故友：
合同矩阵 (Matrix Congruence)
线性代数课本告诉我们，
它并不是某种签了卖身合同的矩阵

而是具有这样定义的一对矩阵：
如果存在可逆矩阵 P，
使得两个矩阵 T和 T' 满足
则称 T 和 T' 是合同的。
然而令人遗憾的是，
课本上关于合同矩阵的描述
通常到此结束，没有更多细节，
接下来就是各种例题、练习题、
以及期末考试题了。
其实对于一本数学教材而言，
用词的精确和逻辑体系的严密
是必须被放在第一位的，
所以线性代数课本不会花时间告诉你
合同矩阵有什么几何或物理意义。
但作为一篇科普文，
用物理案例来解释数学概念，
是一件义不容辞的事情，
所以接下来，我们将看到
一个活生生的合同矩阵的例子。

首先，我们要隆重邀请
本文的主角：张量，再次出场。
只不过我们依然不讨论张量的定义，
而是先看几条对我们有用的信息。
第一条信息：
张量和向量一样，
也可以用来描述空间中某种物理量，
并且也可以表示成坐标分量形式。
只是向量可以被直观地画出来，
而张量无法画出来，
只能依靠坐标分量来描述。

第二条信息：
张量是有阶数之分的，
不同阶数的张量，坐标分量形式也不同。
我们熟知的各类向量其实是一阶张量，
本文的应变张量和电磁张量是二阶张量，
还有广义相对论中描述时空弯曲的
黎曼曲率张量是一个四阶张量，
与老夫有缘的读者会在未来认识它。
(这里再补充一句：
在相对论中，相同阶数的张量
其实还有所谓协变和逆变之分，
但我们暂时不用去理解它，
所以各位就假装不知道这种区别吧)

现在来说说本文最重要的二阶张量。
关于它，我们有第三条信息：
对于一个 n 维空间中的二阶张量，
(我们将它记作粗体字母 T )
它的坐标分量形式，可以表示成
一个 n 维列向量 A 和一个 n 维行向量 B
相乘所得的 n×n矩阵。
我们用不加粗的字母 T
来表示张量的分量矩阵，则T=AB
(类似地，三阶张量的分量
可以对应 n×n×n的“立方阵”，
更高阶张量依此类推……)

接下来是最重要的第四条信息：
张量 T本身也是一个
坐标变换下不发生改变的量，
但是它的坐标分量矩阵 T ，
却也会随着坐标系的变化而变化。
(这就是为什么我们要用
加粗的 T和不加粗的 T 来区分)
那么接下来就是最关键的问题了：
坐标变换下，张量的分量该怎么变？
这就要用到我们刚才给出的
列向量和行向量的坐标变换规则，
用它们可导出二阶张量坐标分量变换规则：

在坐标旋转变换下，具体写出来就是：

各位，看到了吗？
同一张量在两个不同坐标系下的分量，
其实就是一对天造地设的合同矩阵。
所以，张量并不是一个新奇的东西，
它原本就藏身在我们的线性代数课当中。
而线性代数那张性冷淡的扑克脸后面，
其实也隐藏着丰富的物理内涵。

到这里，我想我们已经讨论了太多数学，
各位想必也已经有些困倦了。
不过，通过线性代数中的两位故友，
我们对张量有了一个模糊的认识，
并且同时习得了一个重要的必杀技：
张量的分量在不同坐标系下的变换规则。
接下来，我们就可以尝试一下
在具体的物理问题中打怪升级了。

2) 木板的形变问题
如果我们直接进入四维时空，
满怀期待地跑去观摩电磁张量，
可能会因为过度抽象而出现过敏反应。

为了先让各位有一个直观的概念，
我们还是先从那块变形的木板说起。
在上篇中，我们知道
木板在均匀载荷的作用下会发生形变，
但是木板中央的一只蚂蚁，
却看不到木板整体的形变状态，
只能通过在木板上画小方格，
观察木板变形前后方格的变化，
来推测木板的形变状态。
详细内容此处从略，
已经忘却了的同学请务必回顾上篇。
现在，我们来看看如何从数学上解释
同样的应变状态在不同小方格上
体现出的不同形状。
首先，为了描述木板应变的完整信息，
我们需要一个2维平面上的二阶张量，
即木板的应变张量，
我们用粗体字母 S 来表示它。
而我们在前文中已经知道，
n维空间中的一个二阶张量的坐标分量
可以表示成一个 n×n 矩阵。
所以应变张量的坐标分量
可以写成一个 2×2 矩阵：

在这个矩阵中，
对角线分量 S11，S22 分别表示
x 方向上和 y方向上的正应变，
而非对角线分量，有S12=S21 ，
表示小方格在木板平面上
随木板形变产生的切应变。

现在，我们在木板上画一个小方格，
让它的四条边正好与木板的四条边平行，
那么它将和木板一样，
只有分别垂直于两个相邻边的正应变，
而不会有切应变(相邻两个边夹角变化)。

此时小方格的应变张量矩阵就是：

但对于木板上的蚂蚁而言，
它看不到木板边缘，所以无法保证
自己画的小方格一定和木板边缘平行，
假设它画的小方格和木板边缘有夹角 θ ，
那么木板变形后，
它会看到小方格不再保持正方形，
而会变成一个相邻边不垂直的
普通平行四边形，
也就是小方格产生了切应变。

从张量的观点来说，
小方格四条边与木板四条边夹角为θ ，
就意味着蚂蚁选取了
一个旋转了θ 角的坐标系。
而我们知道，坐标变换下，
应变张量的分量变换为：
于是应变张量在此方格上的“投影”就是：

(其中 c，s 分别表示 cosθ 和 sinθ )
我们可以看到，在新的方格上，
也就是在新的坐标系下，
S'12,S'21 不再等于0，
方格上的切应变从张量观点得到了解释。
而我们还能从上面的式子中看出，
如果木板两个方向上的形变正好相等，
也就是木板发生了“各向同性”的形变，
那么应变矩阵在任何参考系下
切应变分量都为0，也就是只有正应变，
这就意味着小方格无论沿着什么方向画，
都能保持正方形不变，
这和我们的直观认识是一致的。

现在我们在二维平面上
进行了一次直观的数形结合，
用图形感受了一把张量的变换规则，
接下来，我们就可以告别木板上的蚂蚁，
去四维时空和爱因斯坦大爷神交了。
另外，这里告诉各位一点人生经验：
当我们难以理解一些高维问题的时候，
可以先尝试从直观的二维模型入手，
通过直观的图形抽象出数学形式，
再将它推广到高维空间中，
就像我们在本文中所做的那样。
虽然在很多情况下，
这种做法有非常大可能会杯具，
(比如各位可以去了解一下庞加莱猜想)

但请不必顾虑这一点，因为我们这些
处于数理知识食物链底层的虾米们，
其实没有机会犯那么高级的错误。
至少在老夫的科普范围内，
将二维问题的结论推广到高维问题
基本上还是比较稳妥的。

3) 四维时空的“坐标变换”
对于相对论中的四维时空而言，
不同的惯性参考系，
其实就代表着不同的“坐标系”，
只不过这个“坐标系”的坐标，
是一个时间分量加三个空间分量而已。
后面我们将统一用下标0表示时间分量，
用下标1,2,3分别表示三个空间分量。
比如一个四维列向量 A ，
就可以写为 ，
它的3个空间分量，正好就是
我们在三维空间中观察到的3个分量，
而它的时间分量的物理意义，
我们放到后面讨论具体物理模型时再说。
在四维时空中，张量的坐标变换
仍然满足这样的性质：
张量本身不随参考系变化而改变，
但是它的坐标分量
却在不同参考系中会有所不同。
和二维平面的坐标旋转类似，
四维时空中各个参考系之间，
也存在一个坐标变换法则，
这就是我们在上篇中提到的
洛仑兹变换(Lorentz Transformation)，
我们将它记作Λ 。
(注意，别认错了，不是拉丁字母 A，
而是希腊字母 λ(lambda)的大写)。