自顶楼

由mnk的定义，abc不为0
不妨a>0 (若a<0，令abc全部变成相反数不改变结果）
显然，若b负c负，k<0；b负c正，n<0；b正c负，m<0；以上情况下M<0
要让M最大，显然应该bc均为正
因为有实数解，b^2>=4ac
a和c对称，不妨a<=c，所以b^2>=4a^2，b>=2a。易得k最大，且k>=3
1) 当b<=c时，n>=m，所以M=(a+b)/c <= (a+c)/c = a/c +1； 而4ac<=b^2<=c^2，a/c<=1/4，所以M<=5/4。当前仅当b=c,c=4a时取等。
2) 当b>c时，m>n，所以M =(a+c)/b。
若c>=4a，M = (a+c)/b < (a+c)/c = a/c + 1 <= 5/4
若c<4a，M = (a+c)/b <= (a+c)/[2(ac)^(1/2)] = 1/2 * [ (a/c)^(1/2) + (c/a)^(1/2) ]
令x = (c/a)^(1/2)，则 1<=x<2，M = 1/2 * (x+1/x)，由单调性，M< 1/2 * (2+1/2) = 5/4
综上M最大值是5/4，当且仅当 b=c=4a时取得