求助一个数论问题

其实是奥经上的一道题，但是感觉答案写得不对。
题目是求正整数k(＞1)和n，使得对任意i=1,2……n-1，有k丨（n取i）
我算的是(k，n)=(p，p^α)，p是素数，α正整数，答案给的k=p1^α1·p2^α2·……·pt^αt，n=s·p1^（α1+1）·p2^（α2+1）·……·pt^（αt+1）但是随便代几个值就不对了