近期本吧出现了很多新朋友，你们可能有一些疑惑，希望本帖对你们有所帮助。
我们通常说的增长率，一般指的是快速增长率FGH，它的计算规则是：
1、f(n)=n+1的增长率为0；
2、若f(n)的增长率为α，则fⁿ(n)=f(f(f(...f(f(n))...)))（迭代n层）的增长率为α+1。
f(n)=n+1的增长率为0，f²(n)=f(f(n))=f(n+1)=n+2，f³(n)=f(f(f(n)))=n+3...，
fⁿ(n)=f(f(f(...)))=n*2的增长率为1，注意，迭代次数必定随着自变量趋于无穷其增长率才能增加1，如果只迭代有限次，那么增长率并不提升。
因而fᶜ(n)=n+c（其中c为常数，下同）的增长率仍然是0，并且我们可以得出结论：所有系数为1的1次函数增长率为0。
我们记f₁(n)=fⁿ(n)=n*2，然后f₁²(n)=f₁(f₁(n))=f₁(n*2)=n*4，f₁³(n)=f₁(f₁(f₁(n)))=f₁(n*4)=n*8...，
f₁ⁿ(n)=f₁(f₁(f₁(...f₁(f₁(n))...)))=n*2^n的增长率为2，
f₁ᶜ(n)=n*2^c的增长率仍然是1，可见任意系数大于1的1次函数增长率都是1。我们再考虑函数g(n)=n^2，很明显这个函数增长率介于1和2之间，由于函数f₁(n)迭代任意有限多次后仍然是1次函数，它的增长率小于幂函数，因而通常认为幂函数的增长率也是2。
记f₂(n)=f₁ⁿ(n)=n*2^n，f₂²(n)=f₂(f₂(n))=f₂(n*2^n)=n*2^n*2^(n*2^n)>(2^n)^2^n，当n足够大时，(2^n)^2^n>n^n。
同样，当n足够大时，有f₂ᶜ(n)>n^^c，因而所有的指数函数、有限层指数塔函数的增长率也都是2。
（从另一个角度，我们对n^3迭代n次得到n^3^n，如果幂函数增长率为2，那么n^3^n的增长率则是3了，因而幂函数的增长率应该认为是1更合适。）
由于同一增长率所涵盖的函数范围是很宽广的，所以我们在对函数进行迭代时也不用太“较真”。如果函数中自变量出现在多个参数位置，计算增长率时只需要对其中影响最大的参数进行迭代即可，如指数函数a(n)=n^n中，指数比底数对函数的影响更大，为了简便，可以只迭代指数：
aⁿ(n)=n^n^n^...^n^n=n^^n=n↑²n，可知迭代幂次函数的增长率为3，n^^^c的增长率也是3。
n↑³n=n^^^n的增长率为4，n↑ᶜn的增长率为c+1，n↑ⁿn的增长率为ω。
在函数n[n]n=n↑ⁿn中，对函数影响最大的不再是指数，而是描述箭头数量的参数，因而n[n+1]n=n↑ⁿ⁺¹n的增长率不是ω+1，n[n[n[...n[n[n]n]n...]n]n]n的增长率才是ω+1。
顺便说一下所谓的“无脑迭代”，“无脑迭代”是指反复对同一函数进行无休止的迭代，这种迭代方式效率极低，故得其名。
比如f(n)的增长率为α，f₁(n)=fⁿ(n)=f(f(f(...f(f(n))...)))的增长率为α+1，
f₁²(n)=f₁(f₁(n))=f₁(f(f(f(...f(f(n))...))))=f(f(f(...f(f(n))...)))——迭代f(f(f(...f(f(n))...)))+n次，这里的f(n)再迭代n次。
f₂(n)=f₁ⁿ(n)=f₁(f₁(f₁(...f₁(f₁(n))...)))=f(f(f(...f(f(n))...)))，f₂(n)用f(n)迭代来描述的话就是：
f₂(n)=f(f(f(...f(f(n))...)))，共迭代f(f(f(...f(f(n))...)))次（1），
（1）式中f(f(f(...f(f(n))...)))迭代f(f(f(...f(f(n))...)))次（2），
（2）式中f(f(f(...f(f(n))...)))迭代f(f(f(...f(f(n))...)))次（3），
......
如此迭代n层，可见，f₂(n)原本只需要对f₁(n)迭代n次即可得到，而对f(n)直接迭代则需要极其复杂的步骤才能得到。
迭代的瓶颈是极限，比如我们对增长率为α的f(n)迭代n次可得到增长率为α+1的f₁(n)，对增长率为α+1的函数f₁(n)迭代n次可得到增长率为α+2的f₂(n)，这样我们通过不停迭代，总是可以得到增长率更高的函数，但不论迭代多少次，最后得到的函数的增长率总会小于α+ω，这时我们就需要对参数进行对角化，这是达到和突破极限的手段。
函数n[c]n=n↑ᶜn的增长率为c+1，方括号里的数字（箭头个数）每增加1，增长率相应地也增加了1，但当箭头个数随着自变量趋于ω时，再增加箭头的个数就无济于事了。
令b[1,0]p=b[p]p，方括号里的1,0实质就是p进制的10，就像二进制的10等于2，十六进制中的10等于16一样，方括号里的1,0就等于方括号后面的指数p。这样，方括号里的箭头数量就被对角化了。
n[1,0]n=n[n]n的增长率为ω
由于n[1,0]n中，方括号里不再含有自变量n，因而再迭代时又只需要对指数进行迭代即可，即：
n[1,1]n=n[1,0]n[1,0]n[1,0]...n[1,0]n的增长率为ω+1，我们可以验算一遍：
n[1,1]3=n[1,0]n[1,0]n=n[1,0](n[n]n)，此时，[1,0]后面的指数是n[n]n这个表达式，n[1,0](n[n]n)=n[n[n]n](n[n]n)，约等于n[n[n]n]n，同样，n[1,1]4约等于n[n[n[n]n]n]n
n[1,1]n约等于n[n[n[...n[n[n]n]n...]n]n]n，增长率确实是ω+1
同样可知n[1,c]n的增长率为ω+c，然后我们再对角化一次：
n[2,0]n=n[1,n]n，它的增长率为ω2
n[3,0]n的增长率为ω3
n[1,0,0]n的增长率为ω^2
n[1,0,0,0]n的增长率为ω^3
这样我们轻易就得到一个极限增长率为ω^ω的数阵：
n[an,a[n-1],...a2,a1,a0]n的增长率为ω^n*an+ω^(n-1)*a[n-1]+...+ω^2*a2+ω*a1+a0
我们通常说的增长率，一般指的是快速增长率FGH，它的计算规则是：
1、f(n)=n+1的增长率为0；
2、若f(n)的增长率为α，则fⁿ(n)=f(f(f(...f(f(n))...)))（迭代n层）的增长率为α+1。
f(n)=n+1的增长率为0，f²(n)=f(f(n))=f(n+1)=n+2，f³(n)=f(f(f(n)))=n+3...，
fⁿ(n)=f(f(f(...)))=n*2的增长率为1，注意，迭代次数必定随着自变量趋于无穷其增长率才能增加1，如果只迭代有限次，那么增长率并不提升。
因而fᶜ(n)=n+c（其中c为常数，下同）的增长率仍然是0，并且我们可以得出结论：所有系数为1的1次函数增长率为0。
我们记f₁(n)=fⁿ(n)=n*2，然后f₁²(n)=f₁(f₁(n))=f₁(n*2)=n*4，f₁³(n)=f₁(f₁(f₁(n)))=f₁(n*4)=n*8...，
f₁ⁿ(n)=f₁(f₁(f₁(...f₁(f₁(n))...)))=n*2^n的增长率为2，
f₁ᶜ(n)=n*2^c的增长率仍然是1，可见任意系数大于1的1次函数增长率都是1。我们再考虑函数g(n)=n^2，很明显这个函数增长率介于1和2之间，由于函数f₁(n)迭代任意有限多次后仍然是1次函数，它的增长率小于幂函数，因而通常认为幂函数的增长率也是2。
记f₂(n)=f₁ⁿ(n)=n*2^n，f₂²(n)=f₂(f₂(n))=f₂(n*2^n)=n*2^n*2^(n*2^n)>(2^n)^2^n，当n足够大时，(2^n)^2^n>n^n。
同样，当n足够大时，有f₂ᶜ(n)>n^^c，因而所有的指数函数、有限层指数塔函数的增长率也都是2。
（从另一个角度，我们对n^3迭代n次得到n^3^n，如果幂函数增长率为2，那么n^3^n的增长率则是3了，因而幂函数的增长率应该认为是1更合适。）
由于同一增长率所涵盖的函数范围是很宽广的，所以我们在对函数进行迭代时也不用太“较真”。如果函数中自变量出现在多个参数位置，计算增长率时只需要对其中影响最大的参数进行迭代即可，如指数函数a(n)=n^n中，指数比底数对函数的影响更大，为了简便，可以只迭代指数：
aⁿ(n)=n^n^n^...^n^n=n^^n=n↑²n，可知迭代幂次函数的增长率为3，n^^^c的增长率也是3。
n↑³n=n^^^n的增长率为4，n↑ᶜn的增长率为c+1，n↑ⁿn的增长率为ω。
在函数n[n]n=n↑ⁿn中，对函数影响最大的不再是指数，而是描述箭头数量的参数，因而n[n+1]n=n↑ⁿ⁺¹n的增长率不是ω+1，n[n[n[...n[n[n]n]n...]n]n]n的增长率才是ω+1。
顺便说一下所谓的“无脑迭代”，“无脑迭代”是指反复对同一函数进行无休止的迭代，这种迭代方式效率极低，故得其名。
比如f(n)的增长率为α，f₁(n)=fⁿ(n)=f(f(f(...f(f(n))...)))的增长率为α+1，
f₁²(n)=f₁(f₁(n))=f₁(f(f(f(...f(f(n))...))))=f(f(f(...f(f(n))...)))——迭代f(f(f(...f(f(n))...)))+n次，这里的f(n)再迭代n次。
f₂(n)=f₁ⁿ(n)=f₁(f₁(f₁(...f₁(f₁(n))...)))=f(f(f(...f(f(n))...)))，f₂(n)用f(n)迭代来描述的话就是：
f₂(n)=f(f(f(...f(f(n))...)))，共迭代f(f(f(...f(f(n))...)))次（1），
（1）式中f(f(f(...f(f(n))...)))迭代f(f(f(...f(f(n))...)))次（2），
（2）式中f(f(f(...f(f(n))...)))迭代f(f(f(...f(f(n))...)))次（3），
......
如此迭代n层，可见，f₂(n)原本只需要对f₁(n)迭代n次即可得到，而对f(n)直接迭代则需要极其复杂的步骤才能得到。
迭代的瓶颈是极限，比如我们对增长率为α的f(n)迭代n次可得到增长率为α+1的f₁(n)，对增长率为α+1的函数f₁(n)迭代n次可得到增长率为α+2的f₂(n)，这样我们通过不停迭代，总是可以得到增长率更高的函数，但不论迭代多少次，最后得到的函数的增长率总会小于α+ω，这时我们就需要对参数进行对角化，这是达到和突破极限的手段。
函数n[c]n=n↑ᶜn的增长率为c+1，方括号里的数字（箭头个数）每增加1，增长率相应地也增加了1，但当箭头个数随着自变量趋于ω时，再增加箭头的个数就无济于事了。
令b[1,0]p=b[p]p，方括号里的1,0实质就是p进制的10，就像二进制的10等于2，十六进制中的10等于16一样，方括号里的1,0就等于方括号后面的指数p。这样，方括号里的箭头数量就被对角化了。
n[1,0]n=n[n]n的增长率为ω
由于n[1,0]n中，方括号里不再含有自变量n，因而再迭代时又只需要对指数进行迭代即可，即：
n[1,1]n=n[1,0]n[1,0]n[1,0]...n[1,0]n的增长率为ω+1，我们可以验算一遍：
n[1,1]3=n[1,0]n[1,0]n=n[1,0](n[n]n)，此时，[1,0]后面的指数是n[n]n这个表达式，n[1,0](n[n]n)=n[n[n]n](n[n]n)，约等于n[n[n]n]n，同样，n[1,1]4约等于n[n[n[n]n]n]n
n[1,1]n约等于n[n[n[...n[n[n]n]n...]n]n]n，增长率确实是ω+1
同样可知n[1,c]n的增长率为ω+c，然后我们再对角化一次：
n[2,0]n=n[1,n]n，它的增长率为ω2
n[3,0]n的增长率为ω3
n[1,0,0]n的增长率为ω^2
n[1,0,0,0]n的增长率为ω^3
这样我们轻易就得到一个极限增长率为ω^ω的数阵：
n[an,a[n-1],...a2,a1,a0]n的增长率为ω^n*an+ω^(n-1)*a[n-1]+...+ω^2*a2+ω*a1+a0
