在此之前，必须先说明到底什么是命题。
简单来说，命题首先必须是陈述句，然后要能够判断真假。至于是文字、数字、符号、表达式皆可。如下：
（1）空集是任何集合的子集；
（2）指数函数是增函数吗？
（3）x＞2；
（4）若整数a是素数，则a是奇数。
从上面4个语句来看，显然只有（1）、（4）才是命题，为什么呢？因为（2）不是陈述句，（3）虽然是陈述句，但无法判定真假。
再来说（2），指数函数未必是增函数，也可以是单调递减函数（y=0.5^x），如果将语句（2）换成“1+1=2吗？”这样的句子，它还是命题吗？从结论上来看，按照命题的定义，这句话虽是疑问句，但是可以判断真假，但为何说它不是命题呢？仅仅是定义吗？后面再讨论。
根据上面的例子，容易看出，（4）具有若p则q的形式，把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。那么命题一般都可以改写成这种形式，如句子（1）可改写为：若集合A=∅，则A⊂任何子集。
“我比原子弹还厉害”，“凡事都有例外”这两个句子是不是命题呢？当然不是，因为它不能判断真假。

通过上面的复习，我们知道命题的结论要么为真，要么为假。
那么命题之间的关系是什么呢？看下面四个命题：
（1）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数；
（2）若f（x）是周期函数，则f（x）是正弦函数；
（3）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数；
（4）若f（x）不是周期函数，则f（x）不是正弦函数。
可以看出来，（1）和（2）之间区别在于条件和结论互换，（1）和（3）之间区别（3）是将（1）的条件和结论都进行了否定，而（1）和（4）之前的区别在于（4）是将（1）的条件和结论互换后再进行否定。
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件（顺序不能颠倒），则称这两个命题为互逆命题，如（1）和（2）互逆，（3）和（4）互逆，其中一个叫原命题，一个叫原命题的逆命题，当然原命题和逆命题是相对的。
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定（注意顺序不能颠倒），则称这两个命题为互否命题，如（1）和（3）互否，（2）和（4）互否，其中一个叫原命题，另一个叫原命题的否命题，同样原命题和否命题也是相对的。
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论和否定和条件的否定（顺序不能颠倒），则称这两个命题互为逆否命题，如（1）和（4）互为逆否，（2）和（3）互为逆否，其中一个仍然叫原命题，另一个叫原命题的逆否命题，二者还是相对的。
从上述可知，命题的种类基本上就是这四类，确定了原命题就可以立刻得出原命题的逆命题、否命题、逆否命题。当然，实际上还有命题的否定，和否命题不同，命题的否定只对原命题的结论进行否定，比如命题（1）的否命题为（3），命题（1）的否定为：（5）若f（x）是正弦函数，则f（x）不是周期函数。但是就命题间的关系来说，命题的否定适用于所有命题，所以通常在研究命题间关系的时候，命题的否定是单独拎出来的，一般只关系原命题和它另外三种形态间的关系。
事实上，我们真正关心的是命题的结论，也就是判断命题到底是真还是假，那么四种命题的真假无非只有下面四种情况

可以看到，互为逆否命题的两个命题，真假性一致，而互逆命题和互否命题，它们的真假性则没有关系。
另外，否命题条件的否定，其实对于有些人来说在理解的时候可能会产生偏差，举一个简单的例子，有下面命题：若x和y都为0，则x^2+y^2=0。这个命题的否命题是什么呢？根据定义，否命题需对原命题的条件和结论都进行否定，∴原命题的否命题为：若x和y都不为0，则x^2+y^2≠0。对吗？仔细看条件的否定，原命题条件是x和y都为0，否命题条件到底应该是“都不是”还是“不都是”？
对于x和y是否为0，总共有下面四种可能性：
x和y都为0（都是）；
x为0，y不为0（至少一个不是）；
x不为0，y为0（至少一个不是）；
x和y都不是0（都不是）。
显然，要对“x和y都为0（都是）”进行否定，另外3种情况都是符合的，那么如果选择“都不是”作为“都是”的否定形式，显然是不充分的，因此“都是”的否定当然应该是“不都是”，而“不都是”也包括了“都不是”，所以原命题正确的否定形式应该是：若x和y不都为0（或x和y至少有一个为0），则x^2+y^2≠0。

回到本帖的主题。经过上面的复习，已经知道了命题的定义和几种命题的关系，看如下两个命题：
（1）若x＞a^2+b^2，则x＞2ab；
（2）若ab=0，则a=0。
根据命题的结论，无非就是真命题和假命题两种，显然（1）是真命题，（2）是假命题。
因此，若p则q为真命题，即由条件p可以推理得出结论q，可记为p⇒q，这里p是q的充分条件，q是p的必要条件。如果既有p⇒q，也有q⇒p，也就是p可以推出q，q也能反过来推出p，则称p是q的充要条件，同样q也是p的充要条件，二者互为充要条件。
到这里，充分必要条件就清楚了，首先讨论充分和必要条件的时候，一定要指明对象，因为二者是相对的，也就是说谁是谁的充分条件，谁是谁的必要条件。而充要条件则二者互相为对方的充要条件。

根据充分和必要条件，还延伸出了充分不必要、必要不充分、既不必要也不充分条件。
另外在数学分析中，经常出现必要性和充分性
假设：A是条件，B是结论
必要性：A→B
充分性：B→A
A→B：A是B的充分条件
A成立B一定成立，A不成立B不一定不成立
B→A：A是B的必要条件
A成立B不一定成立，A不成立B一定不成立

A是B的充分条件和B的充分条件是A，在语义下是等价的，但是个人不喜欢这种语文式的文字游戏，或者说有时候这样容易搞得人晕头转向。现在尝试着用大白话来阐述一下充分和必要条件。
我们通常是这么说的，假如A⇒B，那么A是B的充分条件，B是A的必要条件。如下图所示：

显然A⊆B，即A是B的子集，那么如果一个元素x∈A，则必定也有x∈B，这就是意味着x只要属于A就可以满足x也属于B，因此说A是B的“充分”条件，即满足了A也就充分满足B，但并不能由x∉A推出x∉B，
另外，设集合A={x|x∈男人}，集合B={x|x∈人类}，则一个生物x∈B是x∈A的必要条件，大白话：你是男人的必要条件是你必须是人，因此说B是A的“必要”条件，同样地，你是人并不能说明你一定是男人！
大概就是这样子的。至于必要性和充分性，在数分（华东师大版）教材里，通常证明必要性就是证明A⇒B，证明充分性就是证明B⇒A