备用

done right比较简单，鲁丁不适合初学

这一问题其实我也思考过好几次了。
也就是在我大一刚学数分高代的时候，我看了很多知乎上的数分高代（高数线代）学习的经验、建议和总结，也看了一些教材的评价和推荐的经典教材。
大致来看，很多人都对同济线代很不满意（当然，我也觉得同济线代特别垃圾），同济高数也是各路狂喷，而对国内的经典数学分析教材（如华师、陈纪修等）、高等代数（如王萼芳等）教材则褒贬不一。
而回答中我发现有些人确实推荐了几本有名的英文教材（当然，很多都有对应的中文版本），例如陶哲轩实分析（Terence Tao. Analysis），rudin和done right等教材。无一例外地，这几本教材在定义、叙述上都非常的“严谨”，很多人也大力推荐。

推荐rudin，done right的理由，多数人大致来说是：这两本教材定义、叙述都非常严谨，摒弃了国内教材部分严谨证明，部分定理证明不严格（如(sin x)/x→1中用几何作图看出不等式sin x＜x＜tan x，或者实数系连续性的无穷小数法证明），部分定理又不作证明的风格（同济高数继续出来挨打）。很多人看完rudin和done right会有一种豁然开朗的感觉，并且会反过来“批判”国内教材中这些严格性的欠缺。

甚至，有些人会认为，rudin或者done right就应该开始就学，大一就学，这样才能建立严谨的概念，而不是被国内的教材带上“弯路”

那么下面，我们一起来看看这两本教材中概念的严谨性如何体现，和国内教材的处理方法有什么不同

我们先从较为简单的done right开始吧：
下面是done right第一章的目录

可以看到，done right第一章先划了一下复数、数组、n维向量、域等等基本概念的水，然后第二节马上引入了线性空间，第三节马上就讨论了子空间。
不过，done right同时引入了许多实例来解释这些抽象定义的概念，比如数列和函数空间：

然后纵观整本书，可以发现done right后面基本都从线性映射和空间的角度，而不是矩阵的角度来讨论线性代数。比如为了证明矩阵的行秩等于列秩，done right直接引入了对偶空间的概念，并从对偶空间的角度迂回地证明了行向量组的张成空间同构于列向量组。

我们再来看看rudin...哇，第一节就各种概念横空出世，序、上确界、域公理等等，直接给出定义；然后接下来又马上定义了复数和Euclid空间，同样地，使用公理...

然后第二章就是拓扑、第三章就是极限和级数...可以说，rudin的进度非常快，直接对各种概念进行了十分抽象而严谨的定义，环环相扣，在有理数域上直接建立了一个完备的实分析大厦。

因为严谨，所以入门就应该直接学rudin，直接学done right，直接开看这两本书。
这么做，对吗？

以下进入私货环节，下面纯属个人观点

累了，明天再写