你就先把每个方格用横纵坐标数字表示,然后考虑两个方格的“距离”。假设f(x,y)为(x,y)方格水平方向平移的距离,g为数直方向平移的距离。
就比如说我们首先考察“横近格”,即横坐标在变换前后相差小于1的格,或者|f|《=1。
我们注意到对每一行f(0,y)》0,f(2021,y)《0而且因为规则限制,同行内两个方格变换后相邻,因而f(x+1,y)-f(x,y)是0,1或2,因此对于每个y都存在至少一个x使得|f(x,y)|小于等于1,
首先,因为固定y增加x时f(x,y)是不增的,因此横近格左边非横近格的方格有f(x,y)》1,右边有f(x,y)《-1,因此一行内的横近格是相连的,即两个相邻的同行内横近格有公共边。
如果一行中存在格使得|f(x,y)|恰好等于0,此时考察|f(x,y+1)|和|f(x,y-1)|,必然也不超过1,因此它上下的方格也是横近格。因此这行的横近格和它上下行的横近格有公共边。
若一行中不存在|f(x,y)|=0的横近格,则存在(x,y)和(x+1,y)使得f(x,y)=1而f(x+1,y)=1,此时观察f(x,y-1);f(x,y+1);f(x+1,y+1);f(x+1,y-1)四个格,会发现都是横近格。这行的横近格和上下的横近格也有公共边。
定义一条竖通路为一个方格的序列(xi,yi),满足y1=2021,yn=0,且(xi,yi)和(xi+1,yi+1)有公共边,我们可以知道存在全由横近格组成的竖通道。
同理可得,也存在“竖近格”和类似的“竖近格横通道”。
最后就是证明一个蛮有名的结论,就是如果一横一竖两条通道存在,那么他们有公共方格,而一个横近格+竖近格就是满足条件的方格。我新来一楼证明这个结论吧。