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印象里这个题目来自某年IMOR，即所谓的IMO Revenge（复仇赛）。
第一步，利用P作位似，把O'变成O。也就是说把平行问题转化为共线问题。这里重新叙述问题如下：
以P为位似中心，作A''B''C''使得A''B''C''与ABC的位似比等于ABC与A'B'C'的位似比。圆BA''C''与圆CA''B''交于X‘’，并类似定义Y'',Z''。设W''是X''Y''Z''的外心，则有W'',O,W共线。
第二步，考虑以圆ABC为基圆的一个反演，则有圆X''Y''Z''的像恰是圆XYZ.(如下图）
设X_1是X‘’的反演像，类似的定义Y_1,Z_1。不难验证，
1）B,C,X,X_1共圆, 并类似有另外两组共圆。即验证angle BXC + angle BX''C = π - 2*angle BAC.
2) X, X_1,Y, Y_1共圆，并类似有另外两组共圆。利用1），可验证angle XX_1Y_1 = angle XYY_1.
根据2），可以得到XX_1, YY_1, ZZ_1三线共点或X,Y,Z,X_1,Y_1,Z_1六点共圆。我们还需要排除前者的情形。以如下情况为例，
这里设P在锐角三角形ABC的内部。于是容易发现X在圆ABC外部，X‘’在圆ABC内部。考虑三圆, 圆BCX, 圆ACY, 圆XYX_1Y_1，由根心定理，XX_1与YY_1的交点在圆BCX, 圆ACY的根轴上。从而若XX_1, YY_1, ZZ_1三线共点，则所共点即圆BCX, 圆ACY，圆ABZ的根心，记为Q。由于X,Y,Z在圆O外部，于是根心Q在三角形ABC内部。而XX_1过Q，于是X_1在圆O内部。而X_1与X‘’是一对关于圆O的反演点，从而X''在圆O外部，得到矛盾。
至此，我们得到X,Y,Z,X_1,Y_1,Z_1六点共圆，从而得到原结论。
第一步，利用P作位似，把O'变成O。也就是说把平行问题转化为共线问题。这里重新叙述问题如下：
以P为位似中心，作A''B''C''使得A''B''C''与ABC的位似比等于ABC与A'B'C'的位似比。圆BA''C''与圆CA''B''交于X‘’，并类似定义Y'',Z''。设W''是X''Y''Z''的外心，则有W'',O,W共线。
第二步，考虑以圆ABC为基圆的一个反演，则有圆X''Y''Z''的像恰是圆XYZ.(如下图）
设X_1是X‘’的反演像，类似的定义Y_1,Z_1。不难验证，
1）B,C,X,X_1共圆, 并类似有另外两组共圆。即验证angle BXC + angle BX''C = π - 2*angle BAC.
2) X, X_1,Y, Y_1共圆，并类似有另外两组共圆。利用1），可验证angle XX_1Y_1 = angle XYY_1.
根据2），可以得到XX_1, YY_1, ZZ_1三线共点或X,Y,Z,X_1,Y_1,Z_1六点共圆。我们还需要排除前者的情形。以如下情况为例，
这里设P在锐角三角形ABC的内部。于是容易发现X在圆ABC外部，X‘’在圆ABC内部。考虑三圆, 圆BCX, 圆ACY, 圆XYX_1Y_1，由根心定理，XX_1与YY_1的交点在圆BCX, 圆ACY的根轴上。从而若XX_1, YY_1, ZZ_1三线共点，则所共点即圆BCX, 圆ACY，圆ABZ的根心，记为Q。由于X,Y,Z在圆O外部，于是根心Q在三角形ABC内部。而XX_1过Q，于是X_1在圆O内部。而X_1与X‘’是一对关于圆O的反演点，从而X''在圆O外部，得到矛盾。
至此，我们得到X,Y,Z,X_1,Y_1,Z_1六点共圆，从而得到原结论。
