第1问,存在某点z,dist(x,A)-dist(y,A)≤|x-z|-|y-z|+ε<|x-y|+ε,同样有>-|x-y|-ε成立,证毕。
第1问第2小分问:取x不在A闭包中则x是孤立点所以dist(x,A)>0,取数列yn在A中且可以使得|x-yn|收敛到dist(x,A),于是得到0<dist(x,A)<a·dist(x,A)的矛盾。
第2问简单,因为dist(x,A)=0所以存在A中数列yn收敛到x,因此x要么在A中要么是聚点。反过来更简单因为是闭包所以可以有点列距离无限小逼近。
第3问去证dist(·,A)=dist(·,A闭包),dist(·,B)=dist(·,B闭包)再利用第2问结论立即可得。
第4问因为|x-y|是y的连续函数,A是有界闭集,所以可以取到点y使得inf=min