标准差 组间/组内基于以下四个标准差：
1. 子组内标准差 σ组内
σ组内是子组内变异的估计值（例如，一个班次、一个操作员或一个材料批次）。Minitab 使用以下方法之一估计 σ组内：
1.1 合并标准差：
注意: 如果更改默认方法并且选择不使用无偏常量，则用 Sp 估计 σ组内。
说明：
d： Sp= Σ (ni- 1) 的自由度； Xij： 第 i 个子组中的第 j 个观测值； X̅i： 第 i 个子组的均值；
ni ：第 i 个子组中的观测值个数； C4(d+1)： 无偏常量； Γ(.)： Gamma 函数。
1.2 子组极差平均值 (Rbar)：
说明：
ri： 第 i 个子组的极差； d2 (ni)： 从表中读取的无偏常量（有关详细信息，请参见“无偏常量 d2()、d3() 和 d4()”部分）； d3 (ni)： 从表中读取的无偏常量（有关详细信息，请参见“无偏常量 d2()、d3() 和 d4()”部分）； ni： 第 i 个子组中的观测值个数 。
1.3 子组标准差平均值 (Sbar)：
注意: 如果更改默认设置并且不使用无偏常量，则用 Σ Si/子组数来估计 σ组内。
说明： C4(ni) 无偏常量（如为合并标准差所定义）。 Si： 子组 i 的标准差； ni： 第 i 个子组中的观测值个数。
2. 子组间标准差 σ组间
σ组间是子组间变异的估计值（例如，在设定的区间、批次中收集的子组，或由不同的操作员收集的子组）。
σ2Xbar 使用以下方法之一进行估计：
2.1 移动极差平均值：
说明：
Ri： 第 i 个移动极差； w： 在移动极差中使用的观测值个数；默认值为 w = 2； d2(w) ：从表中读取的无偏常量（有关详细信息，请参见“无偏常量 d2()、d3() 和 d4()”部分）。
2.2 移动极差中位数：
说明：
MRi： 第 i 个移动极差； MRi： 的中位数 w 在移动极差中使用的观测值个数；默认值为 w = 2； d4(w)： 从表中读取的无偏常量（有关详细信息，请参见“无偏常量 d2()、d3() 和 d4()”部分）。
2.3 递差均方和平方根 (MSSD)：
3. 组间/组内标准差
4. 整体标准差
注意： 默认情况下，Minitab 在估计 σ整体 时不使用无偏常量。σ整体 用 S 来估计。如果要使用无偏常量来估计整体标准差，则可以在执行能力分析时更改估计子对话框上的此选项。如果希望 Minitab 始终默认使用无偏常量，请选择工具 > 选项 > 控制图和质量工具 > 估计标准差，然后选择适当的选项。
说明：
Xij： 第 i 个子组中的第 j 个观测值； X̅： 过程均值； ni： 第 i 个子组中的观测值个数；
C4 (N)： 无偏常量（如为合并标准差所定义）； N（或 Σ ni）： 观测值总数。
以上就是组间/组内标准差的一些算法。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <numeric>
#include <algorithm>
// 计算单个子组的均值
double calculateMean(const std::vector<double>& subgroup) {
double sum = std::accumulate(subgroup.begin(), subgroup.end(), 0.0);
return sum / subgroup.size();
}
// 计算单个子组的标准差
double calculateStandardDeviation(const std::vector<double>& subgroup) {
double mean = calculateMean(subgroup);
double sum = 0.0;
for (double value : subgroup) {
sum += std::pow(value - mean, 2);
}
return std::sqrt(sum / (subgroup.size() - 1));
}
// 计算合并标准差（Sp）
double calculateCombinedStandardDeviation(const std::vector<std::vector<double>>& subgroups) {
double sumSquares = 0.0;
int totalDegreesOfFreedom = 0;
for (const auto& subgroup : subgroups) {
double subgroupStdDev = calculateStandardDeviation(subgroup);
sumSquares += (subgroup.size() - 1) * std::pow(subgroupStdDev, 2);
totalDegreesOfFreedom += (subgroup.size() - 1);
}
return std::sqrt(sumSquares / totalDegreesOfFreedom);
}
// 计算子组的极差
double calculateRange(const std::vector<double>& subgroup) {
auto minMax = std::minmax_element(subgroup.begin(), subgroup.end());
return *minMax.second - *minMax.first;
}
// 计算子组间标准差（σ组间）— 以极差为例
double calculateBetweenGroupStdDev(const std::vector<std::vector<double>>& subgroups) {
std::vector<double> ranges;
for (const auto& subgroup : subgroups) {
ranges.push_back(calculateRange(subgroup));
}
double meanRange = calculateMean(ranges);
double sumSquares = 0.0;
for (double range : ranges) {
sumSquares += std::pow(range - meanRange, 2);
}
return std::sqrt(sumSquares / (ranges.size() - 1));
}
int main() {
// 给定的子组数据
std::vector<std::vector<double>> subgroups = {
{3.08, 3.09, 3.1, 3.09, 3.15, 3.11, 3.1, 3.09, 3.11, 3.15},
{3.12, 3.09, 3.11, 3.11, 3.1, 3.09, 3.11, 3.08, 3.09, 3.06},
{3.09, 3.1, 3.12, 3.08, 3.13, 3.1, 3.1, 3.09, 3.11, 3.08},
{3.06, 3.09}
};
// 计算子组内标准差（σ组内）—— 使用合并标准差
double sigmaWithin = calculateCombinedStandardDeviation(subgroups);
std::cout << "子组内标准差 (σ组内): " << sigmaWithin << std::endl;
// 计算子组间标准差（σ组间）—— 使用极差
double sigmaBetween = calculateBetweenGroupStdDev(subgroups);
std::cout << "子组间标准差 (σ组间): " << sigmaBetween << std::endl;
return 0;
}