刘秀是汉室，聚集人马也是打着汉家旗号。

1.所谓东汉西汉那是史学家为了区别所取的。不表示两个王朝没有延续性。
2.一开始是用前汉后汉来区分的。这个从《后汉书》这个书名就能看出。
3.东汉的太庙供的是谁？
修礼谒祠高庙，收十一帝神主，遣使奉诣洛阳。在法统上明确自己的统治地位。
另外，东汉西汉的说法，我简单检索了一下古籍，最早出现在南北朝时期。