如果三个不同的复数 $z_1, z_2, z_3$ 在复平面上共线，那么它们对应的向量 $\overrightarrow{z_1z_2}, \overrightarrow{z_1z_3}$ 也共线。因此，它们的比值是实数，即：$$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = k, k\in \mathbb{R}$$化简得：$$z_2 - z_1 = k(z_3 - z_1)$$移项得：$$(1-k)z_1 - k z_3 + k z_2 = 0$$由于 $z_1, z_2, z_3$ 互不相等，因此上式左边的三个复数不全为零。因此，这个式子成立的充要条件是：$$\begin{vmatrix}1-k & k & -k\\operatorname{Re}(z_1) & \operatorname{Re}(z_2) & \operatorname{Re}(z_3)\\operatorname{Im}(z_1) & \operatorname{Im}(z_2) & \operatorname{Im}(z_3)\end{vmatrix} = 0$$其中 $\operatorname{Re}$ 和 $\operatorname{Im}$ 分别表示复数的实部和虚部。这就是三个复数共线的充要条件。