Pour tout $R>0$, on consid\`ere le chemin parcourant dans le sens direct le rectangle de sommets $\{-R-{\rm i}\varepsilon, R-{\rm i}\varepsilon, R, -R\}$. Comme $f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}$ est holomorphe sur $\Omega$, on a
\begin{equation*}
\left(\int_{[-R-{\rm i}\varepsilon, R-{\rm i}\varepsilon]}+\int_{[R-{\rm i}\varepsilon,R]}+\int_{[R, -R]}+\int_{[-R, -R-{\rm i}\varepsilon]}\right)f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}{\rm d}z=0,
\end{equation*}
ou bien
\begin{equation*}
\left(\int_{[-R-{\rm i}\varepsilon, R-{\rm i}\varepsilon]}-\int_{[R,R-{\rm i}\varepsilon]}-\int_{[-R, R]}+\int_{[-R, -R-{\rm i}\varepsilon]}\right)f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}{\rm d}z=0.
\end{equation*}
On a
\begin{align*}
\left|\int_{[R,R-{\rm i}\varepsilon]}f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}{\rm d}z\right|=\left|\int^{\varepsilon}_{0}f(R-{\rm i}t){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)(R-{\rm i}t)}(-{\rm i}){\rm d}t\right|&\le \int^{\varepsilon}_{0}\dfrac{b}{1+R^2}{\rm e}^{-2\pi(n+1)t}{\rm d}t\\
&=\dfrac{b}{1+R^2}\cdot\dfrac{1-{\rm e}^{-2\pi(n+1)\varepsilon}}{n+1},\\
\left|\int_{[-R,-R-{\rm i}\varepsilon]}f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}{\rm d}z\right|=\left|\int^{\varepsilon}_{0}f(-R-{\rm i}t){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)(-R-{\rm i}t)}(-{\rm i}){\rm d}t\right|&\le \int^{\varepsilon}_{0}\dfrac{b}{1+R^2}{\rm e}^{-2\pi(n+1)t}{\rm d}t\\
&=\dfrac{b}{1+R^2}\cdot\dfrac{1-{\rm e}^{-2\pi(n+1)\varepsilon}}{n+1};
\end{align*}
en cons\'equence, quand $R$ tend vers $+\infty$, on a
\begin{equation*}
\lim_{R\to+\infty}\int_{[-R-{\rm i}\varepsilon, R-{\rm i}\varepsilon]}f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}{\rm d}z = \lim_{R\to+\infty}\int_{[-R, R]}f(z){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)z}{\rm d}z,
\end{equation*}
ou (comme $f\in L^1(\mathbb{R})$)
\begin{equation*}
\boxed{
\int^{+\infty}_{-\infty}f(t-{\rm i}\varepsilon){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)(t-{\rm i}\varepsilon)} = \int^{+\infty}_{-\infty}f(t){\rm e}^{-2{\rm i}\pi(n+1)(t)} = \hat{f}(n+1).
}
\end{equation*}

\qquad Pour tout $R>0$, on consid\`ere le chemin parcourant dans le sens direct le rectangle de sommets $\{-R, R, R+{\rm i}\varepsilon, -R+{\rm i}\varepsilon,\}$. Comme $f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}$ est holomorphe sur $\Omega$, on a
\begin{equation*}
\left(\int_{[-R, R]}+\int_{[R, R+{\rm i}\varepsilon]}+\int_{[R+{\rm i}\varepsilon, -R+{\rm i}\varepsilon]}+\int_{[-R+{\rm i}\varepsilon,-R]}\right)f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}{\rm d}z=0,
\end{equation*}
ou bien
\begin{equation*}
\left(\int_{[-R, R]}+\int_{[R, R+{\rm i}\varepsilon]}-\int_{[-R+{\rm i}\varepsilon, R+{\rm i}\varepsilon]}-\int_{[-R,-R+{\rm i}\varepsilon]}\right)f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}{\rm d}z=0.
\end{equation*}
On a
\begin{align*}
\left|\int_{[R,R+{\rm i}\varepsilon]}f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}{\rm d}z\right|=\left|\int^{\varepsilon}_{0}f(R+{\rm i}t){\rm e}^{2{\rm i}\pi n(R+{\rm i}t)}{\rm i}{\rm d}t\right|&\le \int^{\varepsilon}_{0}\dfrac{b}{1+R^2}{\rm e}^{-2\pi nt}{\rm d}t\\
&=\dfrac{b}{1+R^2}\cdot\begin{cases}\dfrac{1-{\rm e}^{-2\pi n\varepsilon}}{n},&n>0\\ \varepsilon,&n=0\end{cases},\\
\left|\int_{[-R,-R+{\rm i}\varepsilon]}f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}{\rm d}z\right|=\left|\int^{\varepsilon}_{0}f(-R+{\rm i}t){\rm e}^{2{\rm i}\pi n(-R+{\rm i}t)}{\rm i}{\rm d}t\right|&\le \int^{\varepsilon}_{0}\dfrac{b}{1+R^2}{\rm e}^{-2\pi nt}{\rm d}t\\
&=\dfrac{b}{1+R^2}\cdot\begin{cases}\dfrac{1-{\rm e}^{-2\pi n\varepsilon}}{n},&n>0\\ \varepsilon,&n=0\end{cases};\\
\end{align*}
en cons\'equence, quand $R$ tend vers $+\infty$, on a
\begin{equation*}
\lim_{R\to+\infty}\int_{[-R+{\rm i}\varepsilon, R+{\rm i}\varepsilon]}f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}{\rm d}z = \lim_{R\to+\infty}\int_{[-R, R]}f(z){\rm e}^{2{\rm i}\pi nz}{\rm d}z,
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
\boxed{
\int^{+\infty}_{-\infty}f(t+{\rm i}\varepsilon){\rm e}^{2{\rm i}\pi n(t+{\rm i}\varepsilon)} = \int^{+\infty}_{-\infty}f(t){\rm e}^{2{\rm i}\pi nt} = \hat{f}(-n).
}
\end{equation*}