作为中国人，大家应该或多或少都听说过一个事情：我国的传统音乐使用的音阶，一般来说都是五声音阶。用首调简谱写出来的话，这五个音分别是：1 2 3 5 6
这个五声调式可以说是中国音乐的象征性符号之一，五声调式被发现之后，伴随着强大的中原文明的影响，周边的国家比如朝鲜、天竺、日本等也学会了这个玩意，并且在此基础上互相之间产生了很多新的衍生文化，比如日本的传统调式都节调式，就可以理解成在这个五声调式基础上演化过来的。如果有兴趣你可以看看很多中国传统名曲，他们基本上都是五声调式基础上写就的，这里我举一个例子《茉莉花》用首调简谱表示的话它可以这么写：
3 35 61 16 5 56 5
好 一朵 美 丽的 茉 莉 花
可以发现只出现了1356，算上后面句子才出现的2，刚好是只有这个五个，没有出现任何其他的音。所以这是一首非常标准的五声音阶曲子，可以说是中国最出名的代表曲目之一了。我们音乐史里则提到了，清代中期英国地理学家、旅行家约翰·巴罗就曾将茉莉花的曲调写入了《中国旅行记》因此很早就传到了西方。意大利作曲家普契尼则更是将这个曲调用进了自己的戏剧《图兰朵》里，因此可以说，对不少老外来说用茉莉花代表中国是非常合适的，这也是为什么文明6里中国的主题曲就是这个茉莉花
但事实上，虽然五声音阶是如此的中国特色，以至于很多人想写国风味的曲子就会故意用五声调式，但五声调式却并不是中国特有的。事实上，古印度和古希腊人也都独立发现了五声调式，而且很难说到底谁才是真正第一个发现的人，虽然说其实依然很有可能是中国人。那么此贴我们就来好好说一说，为什么不同地区不同民族的人，都能不约而同地走向五声调式

不知道你小时候有没有试过各种各样的土乐器呢？我小时候其实就发现了，比如同一个杯子，装不同的水会产生不同的声音，比如不同长度的绳子绷紧了去拨会发出不一样的声音。哪怕没有玩过，我相信大家应该或多或少都看过那种就是敲不同奇形怪状的物品就可以组合演奏一些简单音乐的视频。古人创造乐器的过程其实也无外乎于此，敲击不同形状的物体产生了不同的音，吹不同形状的管子也有不同的音，当他们刻意去把能够演奏出一系列和谐的音列的物体组合在一起时，一个简单的乐器就出来了。像这两类，最后就发展出来了各种打击类乐器和管乐，而我们今天重点要说的呢，则是弦乐类
弦是一种很容易获取，很容易制作，也很容易发声的乐器。大家如果自己试过长笛之类的笛子，就会明白吹奏类乐器其实是很难入门的，单纯要吹响都能劝退很多人。而打击类乐器虽然上手难度等于有手就行，但毕竟大部分都过于单调。而弦乐类则是上手相对容易，能演奏的东西也挺多的一个比较适中的类别。像大家熟知的吉他就可以说是一种弦乐类，单纯拨响不要太简单，再稍微学点指法就可以弹小星星，再稍微学点和弦简直就是可以出去泡妞的状态了
而弦，在古时候也是这样的。最早的弦说白了其实就是绷紧的绳子，而绳子对于古人来说并不是什么很难的工艺。而人们在玩绳子的过程中，就会有人思考这样一个问题：绳子的长度和发出的音有什么关系呢？人们首先试验了两倍的关系，即一个长度是另一个的两倍，然后他们发现这样情况下发出的两个音非常相似。事实上他们是对的，因为这样比例产生的音，其实就是八度音。随后他们试验了很多其他的比例，并且发现了另一个重要的比例，那就是三比二，即两个绳长比例是三比二。这个比例下的音，虽然听起来很明显和原始音完全不一样，但是又特别的好听和谐，而这个重要的音，则是五度音
这里顺便再简单科普一下什么是五度音，如果不是非要追求纯五的话，对新手来说你只需要把一个音往后数四下，那它就是五度音。比如1，往后数4得到了5，然后5本身再往后数4得到了2。五度音是一个非常重要的音，因为它不同于原音却又和原音非常的匹配，它是一种非常完美理性的搭配。比如我自己最早对于和弦的摸索时，也是很自然地就发现了五度音，虽然那时的我并不知道什么是五度。就是因为当我单纯只用一个音作和弦时，我会发现那样过于单调，但是如果加上这样一个五度音，它既不会单调，也不会难听
所以古人发现了三比二可以产生这么完美的音之后就开始琢磨了，那我一直按三比二的比例去产生音，最终不就会形成互相之间都非常协和好听又不单调重复的音列了吗。所以他们就这么干了下去，而这个方法则被称做三分损益法，是我国最早的生律法。它具体来说就是比如一根绳子长度81，先往上加三分之一得到108，再往下减三分之一得到72，再往上加三分之一得到96，再往下减三分之一得到64。这样生出来五个音，也就成了我国的五声音阶，它这五个音还可以被叫做一个更出名的五个字：宫商角徵羽

三分损益法在音乐上是很得人青睐的。为什么？因为它“自然”。事实上，二比一产生八度三比二产生五度并不是中国人的独创，因为毕达哥拉斯也在他的著作里提到了这个观点，并且也明确指出了五度的和谐之处。对于古人来说，二比一，三比二这样的简单又自然的比例是完美的，是天生就带着美感的，所以三分损益法是非常受古人青睐的。虽然我并不知道西方是怎么生律的，但我想原理都大同小异。也因此，因为大家都喜欢着五度，也喜欢着这个好看又好听的三比二，无论是中国还是西方都不约而同地得出了五声音阶，体现出了音乐上人们对于美的追求是殊途同归的
需要注意的是，虽然西方最终走向了七声音阶和十二律，但并不代表中国就一直只有五声音阶。事实上，中国在发明了三分损益法并且诞生了宫商角徵羽后并没有就此停止，很多音律学家因此用这个方法一直操作，由此一路生出了12个音，这十二个音因此被称为三分损益十二律。所以中国不仅有五声音阶，也有西方那样的十二音体系。关于西方如何发展五声音阶从而形成了常用的七声音阶以及从而形成了大小调的历史，或许有空了我们可以单独再开一期进行科普。不过现在我们需要把目光放在中国身上，因为三分损益法这个体系背后隐藏着一个重大的缺陷
那么这个缺陷到底是什么呢？请读者朋友们可以试试自己在原长为81的绳子上使用三分损益法，看看已知二比一比例时应该产生八度时，用三分损益法进行十二次时得出的数字是什么

我们使用Excel直接计算一下。三分损益法每增加原弦长三分之一相当于原数乘以三分之四，减少原弦长三分之一相当于接着乘以三分之二，而生成十二律至最后八度时应该是恰好三分之四和三分之二各相乘六次，即各开六次方，所以直接计算可以得出：

我们之前说过，理想的八度音之间，应该***一的弦长，也就是说理想情况下这样产生了十二个音后，应该会到达81的一半40.5这个长度。但是很显然，我们用三分损益法产生的这个结果，离40.5是比较遥远的，因为它甚至连40都没有到。而古人也是注意到了这个问题的，因为第一根弦的音在十二律里又叫黄钟，历史上人们把这个三分损益法不能正常产生八度的问题叫做“黄钟不能还原”
黄钟不能还原不仅是这样生出来的八度不够和谐这么简单，它隐藏着一个更大的问题是：它除了五度音其他每个音之间的关系都是不和谐的，而且极度依赖第一个音的位置。比如说我们来讲一下一个和五度音一样重要的音程：四度音。如果你已经知道了如何数五度音，那四度音就只需要少数一位就好了。四度音之所以特别，是因为它和一度的关系也可以包含着五度。当你从一度正着往上数纯五度时，很显然你得到了五度音；但如果你往下数同样的度数，你会恰好得到四度音。也就是说，一度音本身可以理解成四度的五度，就如同微分和积分一样，五度四度其实可以理解成逆运算的关系。这也是为什么和声学中，五度的和弦叫属和弦，而四度和弦叫下属和弦。如果你把下属和弦理解成往下方向的属和弦，你会发现这个名称还挺合理的
那么按照三分损益法，四度音的弦长是多少呢？根据计算可以得知是：约为59.93233。我们现在知道了一度其实也是四度的五度，那么按照这个推理，四度和一度的比例应该也***三的关系，那么真的如此吗？用81除以59.93233结果大约是1.35，而这个比例远远小于1.5。很显然，三分损益法这个体系只有上五度是和谐的，下五度却已经跑到了八千里外，这导致的后果是如果你要转调的话，你会发现你整个体系都牵一发而动全身，崩得可谓是地裂山摇。在现代的十二平均律下转调，你只需要将所有音符同时平移若干度数就好了，因为它就像一个个互相匹配的齿轮，你直接复制粘贴多少次也不会影响彼此之间的严丝合缝。而三分损益法的体系，它就像一块不规则的碎片，如果你要转调的话，你直接平移就会如同将一地的玻璃碎片强行试图拼在一起一样，不能说是难看，只能说是牛头不对马嘴

那么三分损益法既然出现了不合理之处，那么就有人开始了想办法修复它，给它打打补丁。这本身是一件很正常的思路，因为科学上也鲜有理论是从创立之处就完美无缺的，很多都是依靠后人的修复和完善才逐渐有了今天的地位。那么我们主要从中国人自己的历程来看看古人们都进行了哪些工作来试图解决这个问题
首先出场的第一位选手是来自汉朝的京房。他的方法比较简单粗暴：你们这个程序只跑了一次，有点误差是必然的。我一口气跑五次，直接生六十个音出来，不就可以靠数量磨平这个误差了吗？于是他就用三分损益法在生成了最初十二律之后，继续一口气一共进行了五次生率，制出了一共六十个音，而这便是京房六十率
那么京房这个思路到底怎么样呢？不如我们也来跑一跑看吧，当然很显然我们不可能真的跑六十个音出来，和以前一样，我们直接看关键位置的音就好了。而为了方便计算，这次我们初始弦长定为320，然后一共跑五次三分损益法，并且看看每一次黄钟位置的弦长都是多少，结果如下

可以看出来，前面几次可能因为初始数值太大，这个误差还是挺离谱的。但是随着次数增多，第五次和第四次的黄钟，之间误差已经小于0.5了。所以随着次数的增多，这个误差确实是被缩小了一些，也因此京房在自己测试了音频之后，认为虽然误差依然存在，只有相当于3.6音分那么多，但是他认为这个差别十分微小，因此他宣布周而复始的旋宫转调已经实现了，问题解决，大家皆大欢喜
但我们可以看出，其实这个问题并没有真正解决，因为我认为其实这个误差减小真正的原因在于这个期间弦长一直在被缩短，而这个式子本身初始数越小最终结果的误差也基本上越小。比如我们可以发现，之前原长设置为81时，误差还在1之内，但是这次原长高达320时，误差已经到了整整5之多。所以我个人认为这个方法本身只是人为把弦长搞得足够小，最终显得误差也特别小，但是它掩盖不了这个计算方法本身并不会产生二分之一这个数值，所以再怎么小也永远不可能等于。当然这部分因为我其实并不是乐律学家或者物理学者，可能理解上还是会有问题，大家主要是大概明白这个思路有问题就好了
但显然京房对这个思路还是满意的，而且不止一个人认为这是一个好方法。下面要出场的选手来自南宋，名字叫做钱乐之。他认为三分损益法根本不是不够准，而是你们生的还是不够多，所以他继承了京房的简单粗暴：你们不是觉得六十率也不准吗，那我给你来个三百六十率，直接给你跑三十次，那总够准了吧。所以这位狠人还真就跑了整整三十次三分损益法，一共产生了三百六十律，称为钱乐之三百六十律。根据资料显示，最终的音差甚至已经小到了只有1.845音分，比巴洛克时期法国拉莫发现的小微分音差1.954音分还要小，可见其准度其实某种程度来说还是有意义的。所以钱乐之也认为这样够了，一点几的音差人耳根本分辨不出来，大家可以愉快地下班了

但我们知道，在错误的道路上，不管你往前开得多快，也到不了目的地。以上两位选手本质上都是无限使用三分损益法，试图用数量强行磨掉他们认为的误差。但其实，这个误差并不是精度造成的，而是这个公式本身就是不合理的。所以比起局限于三分损益法，有一些乐律学家则开始尝试了新的思路
下面我们要出场的选手，是来自南朝的乐律学家何承天。他敏锐地意识到了三分损益法本身在数学上就是存在缺陷的，因为我们可以发现每生成一次十二律，其本质都是在原长基础上乘以九分之八的六次方，而这个数怎么也不可能等于我们期待的二分之一。所以他的思路是什么呢？一个字，凑。你的结果不是二分之一是吧，那我写个算法，强行让它加上去变成二分之一不就好了吗。你四度音和一度也不是2:1是吧，那我也写个算法，让他变成2:1。总之，就是面多加水，水多加面，哪里少了，我就写个算法强行凑出答案。虽然说其实这个真正到底怎么算的我是没有真的搞懂的，但是我大致理解的思路是不会错的，就是硬凑
何承天的新律体系，显然也没有真正实现十二平均律。因为这套方法完全建立在已知答案去倒推过程上，这样答题在考试时是拿不到分的。就如同你做实验发现了最终数据不对，所以比起分析是不是哪里有误差或者直接看是不是过程和设想有问题，你直接强行修改实验数据，并编造了一个理由证明他的合理性一样。这个思路虽然脱离了三分损益法，但是也依然走向了另一个迷途，所以很可惜也没有走向目的地。但是何承天的体系依然是有意义的，因为他已经意识到了问题出在算数上，而且也进行了算数方面的尝试，也是世界上最早试图用数学解决十二平均律的探索，所以他对整个乐律学的研究，都是承上启下的
再往后呢则轮到了一位来自南宋的选手，叫蔡元定。他干得事情呢本质上和何承天也没有太大区别，也是三分损益法加上数学计算的方法。不过相比于前者在十二律基础上强行凑数，蔡元定则试图从题目给的材料本身变形来获得最终答案。相比于一般人的生十二律或者十二的倍数，他这次生成了十八律，然后用后面的六律配合一些精密计算，来弥补前十二律的误差。这样的方法确实是高明一些，因为前者是自己发明公式和算法，后者是通过题目给的数据来强行找联系运用一系列花里胡哨的方法来凑答案。这样的方法虽然说依然拿不到满分，但确实也好过一分都拿不到，因为万一蒙中几步正确的过程呢
但是很显然，虽然以上两位选手都想到了数学方法，但是他们本质上依然没有离开三分损益法这个体系，而且只是从一个迷途走向了另一个迷途。而要想真正破解这个难题，则需要选手勇敢地跳出三分损益法的束缚，大胆地利用数学这把工具，从而以一个真正平衡的角度达到数学哲学与音乐都能享受和谐的世界。而这样的人不仅需要好的数学思维，大胆而前卫的眼界，更需要明白得到首先需要舍弃的道理。而这样的一切，最终发生在了明朝的一天

时间来到了明朝，也迎来了这个问题的最终解。让我们有请压轴的选手，明朝音律学家与科学家朱载堉。前面我们说过了，历代的乐律学家要么试图用数量磨平误差，要么企图利用数学强行拼凑答案，但他们都没有真正脱离出三分损益法这个圈子。那为什么他们没有办法走出这个局限呢？除了历史人物本身的局限性外，我认为一个重要原因是，三比二的五度思想严重束缚了人们的思路。我相信有人看到这里应该会一直疑惑一个东西：为什么偏偏2:1就是八度，3:2就是五度，4:3就是四度。为什么不能是π：2是五度或者根号五分之三之类的奇怪数字，难道这些数字不是太过规整了吗？没错，还就是因为规整。实际上音乐这玩意，本身就是建立在个人听觉上的，所以其实一开始根本也不存在什么科学性之说。古人觉得偏偏就是3:2应该是五度而且这样好听，恰恰就是因为它自然又规整，符合古人所追求的美感。实际上，后面我们就会提到，今天的五度并不是3:2，而且事实上以大部分普通人的听力来说，你改成3.1还是2.9:2很可能并没有任何区别。但因为古人不愿意舍弃这个完美的3:2，他们才一直局限在了这个三分损益法，从而使得完美的3:2和完美的2:1从数学上来说就没有办法兼容
那么为什么我们就不能舍弃这个3:2呢？为什么我们不能先优先满足八度，然后完美地均分十二等分，使得每个音之间的间隔都完全一样呢？而这，就是朱载堉的想法。我们可以看看，已知我们现在起点和终点长度比应该是2:1，且我们要求这中间有十二等分，每个音与之前的比例都应该与下一个音和它自己的比例完全一样，那么这个问题就转换成了这样一个方程：
设初始长度为a，终点为b，长度之间比例为x，所以
a=bx12；a:b=2:1
解出来x的值是2开十二次方
问题解决了，但也并没有完全解决。我相信应该西方的乐律学家应该也或多或少想到过这个思路和方法，但是为什么西方没有解决这个问题，一个很重要的原因大概很有趣也很尴尬：算不出2开十二次方。这其实很正常，毕竟那个年代可没有计算器，也没有Excel文档，并不是现在找个计算机一输就能给你出一大串数据的。所以可以想象，朱载堉当年的成果多么不易，而且貌似人家甚至是拿算盘算的。关于朱载堉具体怎么算的，我个人通过资料理解的是，总的来说就是夹逼法。比如我们要算根号2，那我们先看，1²＜2而2²＞2，所以这个结果肯定在1和2之间。再然后，1.4²＜2而1.5²＞2，所以这个结果在1.4到1.5之间，以此类推。不过我个人感觉应该还额外用了更高阶方法吧，不然对于整整十二次方来说这个方法还是太笨了，所以希望有懂数学的可以解答一下

总之，历经千辛万苦，朱载堉终于生出了一个各个长度之间比例都均等的完美体系。而这，便是沿用至今的，十二平均律。但十二平均律真的是完美的吗？其实并不是，比如，在三分损益法中阴魂不散的3:2的五度，并没有在十二平均律里完美实现。可以说，十二平均律的思路其实只是三分损益法的另一个极端。三分损益法是保留五度，然后追求满足八度，而十二平均律是确保八度，其他度也舍弃了。不过说是舍弃，其实十二平均律也依然尽可能地保留了古人所追求的那些比例。比如还是这个五度，十二平均律下的五度比例大约是1.4983左右，其实已经可以说是约等于1.5的五度了。再比如另一个重要的四度，十二平均律下比例大概是1.3347，和古人追求的4:3也就是1.3333也是比较接近的。当然了，你大可以说其实之前三分损益法做多了也可以接近这个误差，既然人家没有真正还原你也其实没有真正还原。所以说，虽然足够接近，十二平均律也绝对不是真正的完美的音律。而且事实上，在西方人也算出自己的十二平均律后，不少人拒绝使用它的一个原因就是因为这破坏了五度这个关键音程。而十二平均律对于当时呢也存在着另一个可能有点滑稽的原因，那就是：太难制作。毕竟之前三分损益法，横竖都是三分之一，我相信很多人自己不通过百度都能想到一些办法弄出这个比例出来。但是2开十二次方这种比例，我感觉百度都可能查不出方法出来，更别说对于古时候并不发达的制造工艺，即使你真的掌握了方法你又有多大程度能实现呢？
不过虽说如此，随着大家技术确实是逐渐发达了，观念也逐渐开放了，十二平均律还是最终一路保留了下来。但十二平均律出彩的地方并不是在误差方面比三分损益法小，而是在于关键的：平均。我们之前说过，三分损益法的体系，转调是困难的事，因为各个音之间的比例并不平均。但是十二平均律下，音与音之间平均了，转调只需要同时平移就好了。无论是古典音乐还是现在的流行音乐，他们能够在十二个调上自由自在地转调都离不开十二平均律的贡献。比起之前如同碎玻璃一样，每一次拆解都需要费很大时间重新拼凑，现在他们就像一块块彼此契合的零件，无论拆卸到哪都可以随时与新的环境契合。而且平均也意味着平衡。之前三分损益法不愿意舍弃五度，所以他们从数学上就永远无法接近八度。而十二平均律主动舍弃了五度，反而不仅满足了八度，也很大程度地满足了剩余所有的度数。或许未来人类随着技术的发展会创造出更完美的律制，但是目前来说，十二平均律可以说就是最优解，也是人们至今依然在使用的原因
所以说最后，我觉得通过这个故事，我们可以总结出一些道理出来：
1.科技是第一生产力
2.有时候正确的方法和思路比蛮干更重要
3.想兼得是很难的，有得必有失
4.中国人的算数能力还真是独一档啊
感谢大家的收看，我们下期再见