貌似是在不可达基数之下，世界基数之上?
话说卡劳万基数这种东西需要有正则的性质吗？还是可以不正则
有人说卡劳万基数和 “1st limit of cardinals that are Pi_w-reflecting onto regular cardinals” 差不多，你怎么看？
能解释一下吗？

再直白一点，正则基数可以看成 一个基数的势 （cardinality）等于自身的解，也就是 Card(κ) = κ 的不动点。
比如 Card(ω) = ω
Card(ω+1) = 1
... ... ... ...
Card(ω*2) = ω
... ... ... ...
Card(ε_0) = ω
Card(ψ_0(Ω^Ω^ω)) = ω
Card(BMS 记号里面的 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)) = ω
... ... ...
Card(Ω) = Ω
Card(Ω*2) = Ω
Card(Ω*ω) = ω
Card(ψ_1(Ω_2)) = ω
Card(ψ_1(Ω_Ω)) = Ω
Card(ψ_1(ψ_χ_(ε_(M+1))(0)(0))) = ω
... ... ...
Card(Ω_2) = Ω_2
Card(Ω_3) = Ω_3
... ... ...
Card(Ω_ω) = ω
Card(Ω_(ω+1)) = Ω_(ω+1)
以此类推
卡劳万基数 Kr(κ) 则是 Rayo^-1(κ) 的基数不动点，Rayo^-1(κ) 可以看做拉约的反函数，即在一节集合论中表示一个数字/序数/基数/数学公式所需的最小符号数量。

不会大基数😭

不出意外的话位于这张图第二行和第三行强度之间
当然，卡基的重点不是强。它的重点是它是用 impredicative 的方式定义的。这之前数学家很少这么定义基数/序数。你看不可达基数、马洛基数、弱紧基数等等都是用具体的性质 （比如集合需要满足什么样的条件。。不可达基数：既是正则基数又是小于它本身的正则基数的极限。
马洛基数：既是正则基数，同时所有小于它的正则基数形成一个 stationary 集 （换句话说，如果一个基数 k 是马洛基数，那么给定一个函数 f, 设 z 是任何小于 k 的序数，则 f(z) <= k，出不来。）
再往上的很深奥，但逻辑上基本都是用集合论定义基数，而不是直接用 “基数本身多不好定义” 定义基数。

所以卡基这个东西可以诱导公理化集合论（大基数研究）走新的方向
其实整个 sub-inaccessible cardinal hierarchy （也就是 [Ω,I) 区间范围内的函数）都是有的可研究的。数学家们一心想着如何制造越来越强的基数公理，但忽略了这种各基数层级之间的风景。
换句话说就是光想着探月忘记考察撒哈拉沙漠、南极大陆、青岛崂山、西安兵马俑这种地方了
sub-inaccessible 这个东西研究起来还有一个好处，因为我们的 ZFC 公理所能证明的最大基数也在这个层级内，而 ZFC 是现在数学的公认的系统，所以研究起来可能能发现整个数学结构纤维深层的一些问题。
我们研究基数不是要走得远，而是要走深山老林。世界基数和 I 之间还有大片未开发的农村地区。

@Hyp_Cos @阿拉伯-沙蟒 你们怎么看？