4.入门高等数学
我们经常能见到天赋异禀的高中生想要提前学习大学数学的内容,却因为一本写得很差的教科书而误入歧途(没错,就是在说你,同济高数!)。高等数学的入门有三个大坎:数学分析(或者叫微积分)、高等代数(或者叫线性代数)、抽象代数(或者叫近世代数)。下面做 一些推荐。
4.1 数学分析
数学分析的入门是最难推荐的,几乎每几个月都能看到有人因此吵起来。比较著名的中文教材有北京大学和华东师范大学的《数学分析》。但是我个人并不推荐中文书,中文书在数学分析教学上有一些缺陷。国外书最著名的是三巨头,一般用它的作者来指代它:Zorich、Amann和Rudin。它的难度大概是Zorich大于等于Amann大于等于Rudin,我个人推荐Zorich,你读不下去了可以看另外两本降低难度。顺便一提,数学分析是很难的科目,必须要花时间认真学习。
所有的数学分析教材对Fourier分析的内容写得都不多,所以我还要推荐两本Fourier分析的教材。其一是Фихтенгольц的《微积分学教程》,江湖人称菲砖。它在数学分析方面的优点是写得十分详细(我们不推荐它也是因为它太过详细,会严重消耗时间,但是在所有的数学分析教材都不讲Fourier分析的大背景下,它在Fourier分析上的详细反而成了一种优点),堪称数学分析界的百科全书;另一本是Stein的《Fourier Analysis》(我认为Stein的分析四件套价值是逐渐下降的,Fourier Analysis可以封神,Complex Analysis优秀,Real Analysis一般,Functional Analysis不知道在干嘛),它以很高的观点串联了Fourier分析,简直是一本必读书目。
4.2 高等代数和抽象代数
尽管有很多人批评中国的高等代数教材,但是我也实在找不到更好的高等代数教材(点名批评麻省理工Strang的《Linear Algebra》)。我没有特别好的推荐,个人用的是张贤科的《高等代数》,还不错。
抽象代数方面,国内的教材不是观点太高就是观点太低。我的推荐是GTM73,即Hungerford的《Algebra》,浅深适当,是很好的入门教材。
4.3 其它
我就不推荐进阶的教材了(一般高中生都啃不完数学分析和高等代数),进一步的学习在大学会有专业的老师与教授做安排。我这里推荐一个茶余饭后的书:Arnold的《惠更斯与牛顿,巴罗与胡克》。这本书主要讲了牛顿时期的数学是如何与当时的物理连接在一起的。由于Arnold本人十分痛恨Bourbaki学派,所以他的书与现在几乎所有的教科书风格均不一致(现在的教科书都是Bourbaki风格的),看看Arnold的书说不定能有所收获(Arnold还有另一本名书《数学物理方法》,如果喜欢他的风格的话也很不错)。