研究洛仑兹变换的初衷
洛仑兹变换的的基本精髓的第4点：4、基础：推导的基础是相对性原理和光速不变的原理。也即洛仑兹变换的依据。相对性原理即洛仑兹变换两个坐标系的运动是相对的。光速不变的原理即光速恒定。如果两个坐标系有相对运动，则用光速作为事件运动速度的度量是不完整的。因为不承认光速可叠加就应承认有相对运动的光速有光障。不承认有相对运动的光速有光障就必须承认光速可以叠加。所以在洛仑兹变换的推导过程中应将有相对运动的光速有光障损失考虑进去。即K和K’系有相对速度V应考虑进去。应该用C=C’＋V取代。这里C为光速、C’为有光障的光速、V为两个坐标系的相对速度。
洛仑兹变换的完全推导
引入：洛仑兹变换的基本精髓
1、 目的：设有两刚性坐标系K和K’，它们的X和X’轴互相重合，Y轴和Y’轴、Z轴和Z’轴互相平行，K’相对于K从原点出发沿X轴正方向以恒速率V运动。设有一时空点（事件）A在K中的坐标是（X、Y、Z、T）（在K中观察），在K’中的坐标是（X’、Y’、Z’、T’），洛仑兹变换的目的就是描述这两组坐标之间的关系，即确定当描述事件A的参照系发生变化（为相对于原参照系作匀速直线运动的参照系）时，用以描述A的坐标的变化的情况。
2、 前提：洛仑兹变换讨论的都是在瞬间状态下的坐标变换，，因为显然，K’一直相对于K运动，如果不是讨论瞬时状态下的坐标变换，就无法给出确定的事件A的坐标值——显然A无法同时相对于2个坐标系静止。这个前提是极其重要的，它允许我们在进行讨论时引入特别的T值或T’值。
3、 实质：洛仑兹变换的实质是求解问题，而不是求证问题！虽然“推导”这个词让人感觉是已知结果而给过程，即求证问题，但事实上爱因斯坦（洛仑兹）当年在推导这一组方程时是不知道结果的，完全是通过已知量——X、Y、Z、T、V等——求未知量——X’、Y’、Z’、T’、V’，即求解问题。这一点的重要性在于，求解问题的解答方法和求证问题的解答方法是不同的，求证问题必须由一般结论出发，而求解问题则有可能通过普遍意义的特殊情况（即在所有情况都平等时的任一具体情况）得到一般结论。
4、 基础：推导的基础是相对性原理和光速不变的原理。
5、 推导前的基本要领：
如图，便是我们在上面已描述的两个坐标系K和K’，两坐标系的X、X’轴本应完全重合，但为了方便
读者更直观地认知，我们仍把它们分开来看。
首先我们必须认为两坐标系中的点存在一种“一一对应”的关系，即在K上观察（K’上也无妨），某一时刻T时，X’轴上的P点与X轴上的Q点完全重合，则这两点是对应的，而它们的坐标X0和X’0、T0和T’0显然也是对应的。这种对应关系是完全成立的，因为若非如此，两坐标系中的点便将不存在函数关系，那么就无法建立一个变换群以描述A坐标的变换。如果是这样，莫说洛仑兹变换，就是经典伽利略变换也不能成立了。那么，洛仑兹变换的问题也可以描述成“在给定K中一时空点A的坐标（X、Y、Z、T）的情况下，求其在K’中的对应点（与其完全重合的点）的坐标”。
依照这种对应关系，又由于K’只在K的K轴方向运动，所以在任何私刻都有Y’=Y和Z’=Z，故而只需讨论X’与X，T’与T之间的变换情况。为了方便，我们不妨设A就是K系X轴上的一个时空的（事件），则其坐标为（X，T）（略去Y=0,和Z=0）。当给确定的X、T值时，我们需要求出X’和T’。
其次我们必须注意，洛仑兹变换与伽利略变换的前提是不一样的。洛仑兹变换只承认相对性原理和光速不变原理，其他的（如时间是否绝对、两坐标系是否有一致的尺度等等）一概不管，都作为需要求解的部分进行推导，最后是什么样就是什么样。伽利略变换只承认绝对空间和绝对时间，其他的（如光速是否一致、速度如何相加等等）一概不管作为要求的量进行推导，最后得出什么结论就是什么结论。因此，在洛仑兹变换中，我们没有任何理由认为两个坐标系的时间与空间尺度必须是一致的，它们完全是和所有未知量平等的量，不能具有任何优越性，就像在伽利略变换中不能认为光速具有任何优越性一样。因此，永远不要用洛仑兹变换去证伪伽利略变换的结论，也永远不要用伽利略变换去证伪洛仑兹变换的结论。这两种变换在它们各自内部的逻辑都是自洽的，说“哪个是真，哪个是伪”只能看它们哪一个和实验结果符合得更好。
第一部分
对于一个从K原点出发朝X轴正方向前进的光信号，我们有X=CT或X－CT=0 （1a）
而若光信号是沿着X轴负方向前进的，则有－X=CT或CT+X=0 （1b）
此时，我们实际上是选取了一些特殊的点，使得它们的坐标满足X－CT=0或CT＋X=0，实际上这些点就是从原点出发的光信号末端经过的点。
这些点对应到K’中，因为光信号相对于K’也以光速传播，所以有
X’－CT’=0（2a）
或X’＋CT’=0（2b）。
但是我们知道，事件A的选取可以是任意的，即K中事件A的坐标（X，T）未必满足（1a）或（1b），而它在K，’中的坐标（X’,T’）也未必满足（2a）或（2b）。因此·对于一个任意事件A，我们不能简单地认为X－CT=X’－CT’=0或X＋CT=X’＋CT’=0。而依据对应关系，一组任意的X、T值都可以在K’中对应为一组X’、 T’值，因此我们理由相信（X－CT）的值与（X’ －CT’）的值存在对应关系（线性函数关系），（X＋CT）和（X’＋CT’）的值也是如此。
因此，我们引入常数λ和μ，使其满足
（X’－CT’）=λ（X－CT） （3）
（X’＋CT’）=μ（X＋CT） （4）
此处X和T（及其对应值X’和 T’）便具备有了普遍性意义，对于一个任意的事件A都应该满足此关系（也包括我们前面所说特殊的光信号末端经过的点，显然当X－CT=0时，（X’ －CT’）也等于0，（X＋CT）也是这样）。
因为X和T是已知量，X’、 T’未知量，所以我们把（3）（4）进一步化简，即把（3）和（4）相加、相减，有（3）＋（4）得
2X’=λX －λC T＋μX＋μCT
X’=（λ＋μ）X/2－（λ－μ）CT/2
（4）－（3）得
2CT’=λX －λC T－μX－μC T
CT’=（λ－μ）X/2＋（λ＋μ）CT/2
方程形式简洁，我们不妨令
a=（λ＋μ）/2
b=（λ－μ）/2
则我们得到方程组
我们知道，方程组（5）只是（3）和（4）的变形，并且在运算过程中我们也没有赋予X、T、X’、 T’任何特别意义，因此方程（5）是一个普遍性意义的结论，亦即在K中观察时，对于任何的空时点都应该满足的X、T、和X’、 T’之间的关系。
这一点是极其重要的——正因为（5）的普适性，以下所有部分的讨论都是以它为基础的。
第二部分
到目前为止，我们只用了已知量X、T和常数c、a、b，而没有涉及到两坐标轴的相对速率V。而我们知道，将坐标变换时不可避免地要使用到V。这一部分的讨论便是把V用方程组（5）中的已知量表示出来，从而将V引入变换群方程。
此处有一点很重要：显然，K’上所有的点都相对于K以恒速率V运动，所以，在对V进行描述时，K’上所有的点都是平等的！即我们可以描述K’上任意一点相对于K的位置变化情况，从而确定V。因此，我们选取最简单的点——K’的点O’坐标应为（0、T’），即X’=0。我们把这一个值代入（5）的第一个方程中（即在（5）的基础上，赋予X’、T’、X、T以这样的意义：X’和T’、是K’原点O’坐标，X和T是O’在K中对应的坐标），有：（方程式中乱码为乘号）
aX－Bct=0
aX=Bct
X=Bct/a （6）
那么，我们已经赋予X’为K’原点的意义，所以X自然就是O’在K中对应的坐标。X、T都是在K上观察而言，那么显然，对于O’的对应点，有
X=VT
所以我们得到
V=bC/a
这样，我们便把V引入了关系式中。
第三部分
从方程组（5）我们很容易看出，一但a和b的值能被确定下来，那么问题即得解。不难发现，a和b作为我们引入的常数，是未知量，而我们一直把它当做已知量处理，这也是数学上常用的技巧（我们为了把V引入变换方程中，还用了a和b确定V，实质上由于a和b的身份，他们的值一定使（6）左右两边恒等的，即V才是真正的已知量，a、b的值一定有用V表示的成分）。所以这一部分的讨论便是为了确定a和b的值。
由引入部分可知，所有对于X和X’、T和T’关系的讨论都是基于瞬时的K和K’的状态而言，所以我们可以并且必须引入一些特别的时间值进行讨论。
而且，此处有两个时间值：T和T’。因此我们必须分两种情况讨论，即在K上观察和在K’上观察时。
和第二部分的思路相近地，因为K’一直在相对于K做匀速直线运动，所以显然在任何一瞬间K上观察到K’的状态（或K’上观察到K的状态）都是一样的，亦即在K中观察（或在K’中观察）任何T值（或T’值）都是平等的。所以为了方便，在两种情况中，我们分别令T=0和T’=0。
洛仑兹变换最大的争议也在于此——主要是两个问题：一是这样是否会推出T=0=T’，二是T=0时可以认为K’还没有运动，怎么能导出恰当的变形式。所以，我们必须把这两个问题解释清楚。
关于第一个问题，其实很好理解，答案是不会。因为，我们分两种情况讨论，分别是在K上观察和在K’上观察；在K上观察时，令T=0；在K’上观察时，令T’=0。这两种情况是并列关系，而且是互不影响的。当T=0时，T’是未知量，和我们要求的a、b是同一身份。两种情况互不干涉。
而对于第二个问题的回答更抽象，也更难理解。事实上，K、K’之间的运动量是理想状态下的——K’从相对于K静止，直至开始相对于K匀速直线运动，中间不需要任何加速的过程，即“零秒加速”的理想状态。所以在K上观察时T=0实际是一个分节点，它既是K’仍然静止的一瞬间，又是K’刚刚开始运动的一瞬间，就像半夜24:00，既是前一天的最后一瞬间，又是后一天的最初一瞬间——只不过，这里T=0我们只取K’已经开始运动的意义，就像只考虑24:00是第二天的最初一瞬间的意义一样，这是完全允许的。如果你觉得T=0时K’这“既静止，又运动”的状态令你实在无法接受，那你就这样想：假设K’与K不是从原点重合开始相对运动，而是当K’的原点O’还在K中X轴负半轴上时，K’就已经向X轴正方向运动，但是此时我们不计算时间——我此时不赋予K和K’时间的意义；而当K’运动到O’与O重合的一瞬间，我开始计算时间，即赋予K和K’时间，那么这一瞬间（在K上观察）就是T=0。这样你就可以理解——之前K’就一直处在相对于K运动的状态下，这里“T=0”不过是我们规定的一个K上时间的起始点而已，那么T=0这一瞬时状态下，在K上观察，K’是处在K运动的状态，便没有如何疑问了（以上讨论若换成在K’上观察，T’=0，是完全等价的）。
以下开始具体论述，以确定a和b的值：
1、 在K上观察，令T=0
代入（5）的第一个方程，得X’=aX
X=X’/a
令有一根摆放在X’轴上的长度为1的量杆，在K’K中其长度△X’显然为1，那么在K中观察到其长度△X满足
△X=1/a （7a）
2、在K’上观察，令T’=0
此时，T为未知量，而我们首先要求的是a或b，所以应把T消去（事实上，在1、中也应该消去T’，但（5）的第一个方程不含有T’，因此直接免去消元的麻烦）。
把T’=0代入（5）的第二个方程式中
0= a CT－bX
a CT=bX
T=bX/aC
把上式代入（5）的第一个方程式中
X’=aX－b2CX/aC
X’=aX－b2X/a
X’=aX（1－b2/a2）
上面已经说过，V是真正的已知量，用a×b表示V只是把V引入方程的手段。在此处，我们便需要把V引入方程以消去b，于是根据式子（6）有
X’=aX（1－V2/C2）
令有一根摆放在X轴上的量杆，在K中其长度△X=1，那么在K’中观察到其长度
△X’=a（1－V2/C2） （7b）
接下来，我们要把以上两种情况合起来考虑，最最重要的一点出现了：
由于相对性原理，在K中观察K’的状态，和在K’中观察K的状态，必须是完全一样的！
所以，在K中观察得到的△X，必等于在K’中观察同一量杆得到的△X’！
那么有
1/a=a（1－V2/C2）
a 2=1/（1－V2/C2）
现在，只要右式开根，就得到a值。并且不难发现上式还有一特殊意义，那就是当V＜C时a才有实数解，方程（5）才能成立（注意，我们之前一直没有规定V＜C！）。不过首先我们必须考虑一下a的正负性。
我们必须回到a最初表达上来，即
a=（λ＋μ）/2
那么只要确定了λ和μ，就能知道a的正负性。而λ和μ满足
（X’－CT’）=λ（X－CT）
（X’＋CT’）=μ（X＋CT）
依据对应关系，在X轴的正半轴上的所有点与其在X’轴上的对应点一定满足（X’ －CT’）和（X－CT）同正或同负（当然也能为0），负半轴上（X’＋CT’）和（X＋CT）也是如此，因此必然得到λ＞0和μ＞0，所以a＞0.所以
a=1/(1－V2/C2)1/2 （7c）
a的值得以确定。
再将（7c）代入（6）中，得
V=bC(1－V2/C2)1/2
b=V/C(1－V2/C2)1/2 （7d）
b的值便也确定下来。
第四部分
这便是最后得解的部分了，事实上a和b既然已被确定，这一过程就像秋风扫落叶，只需将（7c）和（7d）代入（5）即可。
代入（5）的第一个方程，得
X’=X/(1－V2/C2)1/2－VCT/C(1－V2/C2)1/2
X’=（X－VT）/(1－V2/C2)1/2 （8a）
代入（5）的第二个方程，得
CT’=CT/(1－V2/C2)1/2－VX/C(1－V2/C2)1/2
CT’=(CT－VX/C)/ (1－V2/C2)1/2
T’=(T－VX/C2)/ (1－V2/C2)1/2 （8b）
将（8a）和（8b）串联成方程组，再加上“基本要令”中已经说明的Y’=Y、Z’=Z，我们便得到
众所周知，方程组（8）就是我们的最终答案——洛仑兹变换。
洛仑兹变换的的基本精髓的第4点：4、基础：推导的基础是相对性原理和光速不变的原理。也即洛仑兹变换的依据。相对性原理即洛仑兹变换两个坐标系的运动是相对的。光速不变的原理即光速恒定。如果两个坐标系有相对运动，则用光速作为事件运动速度的度量是不完整的。因为不承认光速可叠加就应承认有相对运动的光速有光障。不承认有相对运动的光速有光障就必须承认光速可以叠加。所以在洛仑兹变换的推导过程中应将有相对运动的光速有光障损失考虑进去。即K和K’系有相对速度V应考虑进去。应该用C=C’＋V取代。这里C为光速、C’为有光障的光速、V为两个坐标系的相对速度。
洛仑兹变换的完全推导
引入：洛仑兹变换的基本精髓
1、 目的：设有两刚性坐标系K和K’，它们的X和X’轴互相重合，Y轴和Y’轴、Z轴和Z’轴互相平行，K’相对于K从原点出发沿X轴正方向以恒速率V运动。设有一时空点（事件）A在K中的坐标是（X、Y、Z、T）（在K中观察），在K’中的坐标是（X’、Y’、Z’、T’），洛仑兹变换的目的就是描述这两组坐标之间的关系，即确定当描述事件A的参照系发生变化（为相对于原参照系作匀速直线运动的参照系）时，用以描述A的坐标的变化的情况。
2、 前提：洛仑兹变换讨论的都是在瞬间状态下的坐标变换，，因为显然，K’一直相对于K运动，如果不是讨论瞬时状态下的坐标变换，就无法给出确定的事件A的坐标值——显然A无法同时相对于2个坐标系静止。这个前提是极其重要的，它允许我们在进行讨论时引入特别的T值或T’值。
3、 实质：洛仑兹变换的实质是求解问题，而不是求证问题！虽然“推导”这个词让人感觉是已知结果而给过程，即求证问题，但事实上爱因斯坦（洛仑兹）当年在推导这一组方程时是不知道结果的，完全是通过已知量——X、Y、Z、T、V等——求未知量——X’、Y’、Z’、T’、V’，即求解问题。这一点的重要性在于，求解问题的解答方法和求证问题的解答方法是不同的，求证问题必须由一般结论出发，而求解问题则有可能通过普遍意义的特殊情况（即在所有情况都平等时的任一具体情况）得到一般结论。
4、 基础：推导的基础是相对性原理和光速不变的原理。
5、 推导前的基本要领：
如图，便是我们在上面已描述的两个坐标系K和K’，两坐标系的X、X’轴本应完全重合，但为了方便
读者更直观地认知，我们仍把它们分开来看。
首先我们必须认为两坐标系中的点存在一种“一一对应”的关系，即在K上观察（K’上也无妨），某一时刻T时，X’轴上的P点与X轴上的Q点完全重合，则这两点是对应的，而它们的坐标X0和X’0、T0和T’0显然也是对应的。这种对应关系是完全成立的，因为若非如此，两坐标系中的点便将不存在函数关系，那么就无法建立一个变换群以描述A坐标的变换。如果是这样，莫说洛仑兹变换，就是经典伽利略变换也不能成立了。那么，洛仑兹变换的问题也可以描述成“在给定K中一时空点A的坐标（X、Y、Z、T）的情况下，求其在K’中的对应点（与其完全重合的点）的坐标”。
依照这种对应关系，又由于K’只在K的K轴方向运动，所以在任何私刻都有Y’=Y和Z’=Z，故而只需讨论X’与X，T’与T之间的变换情况。为了方便，我们不妨设A就是K系X轴上的一个时空的（事件），则其坐标为（X，T）（略去Y=0,和Z=0）。当给确定的X、T值时，我们需要求出X’和T’。
其次我们必须注意，洛仑兹变换与伽利略变换的前提是不一样的。洛仑兹变换只承认相对性原理和光速不变原理，其他的（如时间是否绝对、两坐标系是否有一致的尺度等等）一概不管，都作为需要求解的部分进行推导，最后是什么样就是什么样。伽利略变换只承认绝对空间和绝对时间，其他的（如光速是否一致、速度如何相加等等）一概不管作为要求的量进行推导，最后得出什么结论就是什么结论。因此，在洛仑兹变换中，我们没有任何理由认为两个坐标系的时间与空间尺度必须是一致的，它们完全是和所有未知量平等的量，不能具有任何优越性，就像在伽利略变换中不能认为光速具有任何优越性一样。因此，永远不要用洛仑兹变换去证伪伽利略变换的结论，也永远不要用伽利略变换去证伪洛仑兹变换的结论。这两种变换在它们各自内部的逻辑都是自洽的，说“哪个是真，哪个是伪”只能看它们哪一个和实验结果符合得更好。
第一部分
对于一个从K原点出发朝X轴正方向前进的光信号，我们有X=CT或X－CT=0 （1a）
而若光信号是沿着X轴负方向前进的，则有－X=CT或CT+X=0 （1b）
此时，我们实际上是选取了一些特殊的点，使得它们的坐标满足X－CT=0或CT＋X=0，实际上这些点就是从原点出发的光信号末端经过的点。
这些点对应到K’中，因为光信号相对于K’也以光速传播，所以有
X’－CT’=0（2a）
或X’＋CT’=0（2b）。
但是我们知道，事件A的选取可以是任意的，即K中事件A的坐标（X，T）未必满足（1a）或（1b），而它在K，’中的坐标（X’,T’）也未必满足（2a）或（2b）。因此·对于一个任意事件A，我们不能简单地认为X－CT=X’－CT’=0或X＋CT=X’＋CT’=0。而依据对应关系，一组任意的X、T值都可以在K’中对应为一组X’、 T’值，因此我们理由相信（X－CT）的值与（X’ －CT’）的值存在对应关系（线性函数关系），（X＋CT）和（X’＋CT’）的值也是如此。
因此，我们引入常数λ和μ，使其满足
（X’－CT’）=λ（X－CT） （3）
（X’＋CT’）=μ（X＋CT） （4）
此处X和T（及其对应值X’和 T’）便具备有了普遍性意义，对于一个任意的事件A都应该满足此关系（也包括我们前面所说特殊的光信号末端经过的点，显然当X－CT=0时，（X’ －CT’）也等于0，（X＋CT）也是这样）。
因为X和T是已知量，X’、 T’未知量，所以我们把（3）（4）进一步化简，即把（3）和（4）相加、相减，有（3）＋（4）得
2X’=λX －λC T＋μX＋μCT
X’=（λ＋μ）X/2－（λ－μ）CT/2
（4）－（3）得
2CT’=λX －λC T－μX－μC T
CT’=（λ－μ）X/2＋（λ＋μ）CT/2
方程形式简洁，我们不妨令
a=（λ＋μ）/2
b=（λ－μ）/2
则我们得到方程组
我们知道，方程组（5）只是（3）和（4）的变形，并且在运算过程中我们也没有赋予X、T、X’、 T’任何特别意义，因此方程（5）是一个普遍性意义的结论，亦即在K中观察时，对于任何的空时点都应该满足的X、T、和X’、 T’之间的关系。
这一点是极其重要的——正因为（5）的普适性，以下所有部分的讨论都是以它为基础的。
第二部分
到目前为止，我们只用了已知量X、T和常数c、a、b，而没有涉及到两坐标轴的相对速率V。而我们知道，将坐标变换时不可避免地要使用到V。这一部分的讨论便是把V用方程组（5）中的已知量表示出来，从而将V引入变换群方程。
此处有一点很重要：显然，K’上所有的点都相对于K以恒速率V运动，所以，在对V进行描述时，K’上所有的点都是平等的！即我们可以描述K’上任意一点相对于K的位置变化情况，从而确定V。因此，我们选取最简单的点——K’的点O’坐标应为（0、T’），即X’=0。我们把这一个值代入（5）的第一个方程中（即在（5）的基础上，赋予X’、T’、X、T以这样的意义：X’和T’、是K’原点O’坐标，X和T是O’在K中对应的坐标），有：（方程式中乱码为乘号）
aX－Bct=0
aX=Bct
X=Bct/a （6）
那么，我们已经赋予X’为K’原点的意义，所以X自然就是O’在K中对应的坐标。X、T都是在K上观察而言，那么显然，对于O’的对应点，有
X=VT
所以我们得到
V=bC/a
这样，我们便把V引入了关系式中。
第三部分
从方程组（5）我们很容易看出，一但a和b的值能被确定下来，那么问题即得解。不难发现，a和b作为我们引入的常数，是未知量，而我们一直把它当做已知量处理，这也是数学上常用的技巧（我们为了把V引入变换方程中，还用了a和b确定V，实质上由于a和b的身份，他们的值一定使（6）左右两边恒等的，即V才是真正的已知量，a、b的值一定有用V表示的成分）。所以这一部分的讨论便是为了确定a和b的值。
由引入部分可知，所有对于X和X’、T和T’关系的讨论都是基于瞬时的K和K’的状态而言，所以我们可以并且必须引入一些特别的时间值进行讨论。
而且，此处有两个时间值：T和T’。因此我们必须分两种情况讨论，即在K上观察和在K’上观察时。
和第二部分的思路相近地，因为K’一直在相对于K做匀速直线运动，所以显然在任何一瞬间K上观察到K’的状态（或K’上观察到K的状态）都是一样的，亦即在K中观察（或在K’中观察）任何T值（或T’值）都是平等的。所以为了方便，在两种情况中，我们分别令T=0和T’=0。
洛仑兹变换最大的争议也在于此——主要是两个问题：一是这样是否会推出T=0=T’，二是T=0时可以认为K’还没有运动，怎么能导出恰当的变形式。所以，我们必须把这两个问题解释清楚。
关于第一个问题，其实很好理解，答案是不会。因为，我们分两种情况讨论，分别是在K上观察和在K’上观察；在K上观察时，令T=0；在K’上观察时，令T’=0。这两种情况是并列关系，而且是互不影响的。当T=0时，T’是未知量，和我们要求的a、b是同一身份。两种情况互不干涉。
而对于第二个问题的回答更抽象，也更难理解。事实上，K、K’之间的运动量是理想状态下的——K’从相对于K静止，直至开始相对于K匀速直线运动，中间不需要任何加速的过程，即“零秒加速”的理想状态。所以在K上观察时T=0实际是一个分节点，它既是K’仍然静止的一瞬间，又是K’刚刚开始运动的一瞬间，就像半夜24:00，既是前一天的最后一瞬间，又是后一天的最初一瞬间——只不过，这里T=0我们只取K’已经开始运动的意义，就像只考虑24:00是第二天的最初一瞬间的意义一样，这是完全允许的。如果你觉得T=0时K’这“既静止，又运动”的状态令你实在无法接受，那你就这样想：假设K’与K不是从原点重合开始相对运动，而是当K’的原点O’还在K中X轴负半轴上时，K’就已经向X轴正方向运动，但是此时我们不计算时间——我此时不赋予K和K’时间的意义；而当K’运动到O’与O重合的一瞬间，我开始计算时间，即赋予K和K’时间，那么这一瞬间（在K上观察）就是T=0。这样你就可以理解——之前K’就一直处在相对于K运动的状态下，这里“T=0”不过是我们规定的一个K上时间的起始点而已，那么T=0这一瞬时状态下，在K上观察，K’是处在K运动的状态，便没有如何疑问了（以上讨论若换成在K’上观察，T’=0，是完全等价的）。
以下开始具体论述，以确定a和b的值：
1、 在K上观察，令T=0
代入（5）的第一个方程，得X’=aX
X=X’/a
令有一根摆放在X’轴上的长度为1的量杆，在K’K中其长度△X’显然为1，那么在K中观察到其长度△X满足
△X=1/a （7a）
2、在K’上观察，令T’=0
此时，T为未知量，而我们首先要求的是a或b，所以应把T消去（事实上，在1、中也应该消去T’，但（5）的第一个方程不含有T’，因此直接免去消元的麻烦）。
把T’=0代入（5）的第二个方程式中
0= a CT－bX
a CT=bX
T=bX/aC
把上式代入（5）的第一个方程式中
X’=aX－b2CX/aC
X’=aX－b2X/a
X’=aX（1－b2/a2）
上面已经说过，V是真正的已知量，用a×b表示V只是把V引入方程的手段。在此处，我们便需要把V引入方程以消去b，于是根据式子（6）有
X’=aX（1－V2/C2）
令有一根摆放在X轴上的量杆，在K中其长度△X=1，那么在K’中观察到其长度
△X’=a（1－V2/C2） （7b）
接下来，我们要把以上两种情况合起来考虑，最最重要的一点出现了：
由于相对性原理，在K中观察K’的状态，和在K’中观察K的状态，必须是完全一样的！
所以，在K中观察得到的△X，必等于在K’中观察同一量杆得到的△X’！
那么有
1/a=a（1－V2/C2）
a 2=1/（1－V2/C2）
现在，只要右式开根，就得到a值。并且不难发现上式还有一特殊意义，那就是当V＜C时a才有实数解，方程（5）才能成立（注意，我们之前一直没有规定V＜C！）。不过首先我们必须考虑一下a的正负性。
我们必须回到a最初表达上来，即
a=（λ＋μ）/2
那么只要确定了λ和μ，就能知道a的正负性。而λ和μ满足
（X’－CT’）=λ（X－CT）
（X’＋CT’）=μ（X＋CT）
依据对应关系，在X轴的正半轴上的所有点与其在X’轴上的对应点一定满足（X’ －CT’）和（X－CT）同正或同负（当然也能为0），负半轴上（X’＋CT’）和（X＋CT）也是如此，因此必然得到λ＞0和μ＞0，所以a＞0.所以
a=1/(1－V2/C2)1/2 （7c）
a的值得以确定。
再将（7c）代入（6）中，得
V=bC(1－V2/C2)1/2
b=V/C(1－V2/C2)1/2 （7d）
b的值便也确定下来。
第四部分
这便是最后得解的部分了，事实上a和b既然已被确定，这一过程就像秋风扫落叶，只需将（7c）和（7d）代入（5）即可。
代入（5）的第一个方程，得
X’=X/(1－V2/C2)1/2－VCT/C(1－V2/C2)1/2
X’=（X－VT）/(1－V2/C2)1/2 （8a）
代入（5）的第二个方程，得
CT’=CT/(1－V2/C2)1/2－VX/C(1－V2/C2)1/2
CT’=(CT－VX/C)/ (1－V2/C2)1/2
T’=(T－VX/C2)/ (1－V2/C2)1/2 （8b）
将（8a）和（8b）串联成方程组，再加上“基本要令”中已经说明的Y’=Y、Z’=Z，我们便得到
众所周知，方程组（8）就是我们的最终答案——洛仑兹变换。
