取子列xn=1/nπ，则分母恒为0，极限不存在

分母可能为0跟极限有半毛钱关系吗？那洛必达法则是干啥的

如果你是想说0的任意邻域里都有无穷多个分母为0的无定义点，所以不满足极限定义的话，那也是一种误解。
邻域首先是一个开集，而谈论开集要定义拓扑。在实数域上，一般来说拓扑就是开区间生成的自然拓扑。但是本题里的函数定义域E并非R，而是R的子集，那么此时E上的拓扑就应该是R的子空间拓扑，其元素是R中每个开集与E取交集。
在这种拓扑下，你从任意的(-r, r)里去掉所有无定义点，得到的新集合就是E上的开集，它也是0的邻域。

存在一个子集的极限不存在，所以自己本身的极限也不存在

定义问题
当成极限不存在吧