2,n!的末尾有m个连续的0,m可以是任意的正整数吗？
不能！比如，m≠5.
验算：24!的末尾连续的0的个数=【24/5】=4，
而25!的末尾连续的0的个数=【25/5】+【25/25】=5+1=6.
问题在于，25时，“一下子”多了2个5，这样，25!的末尾连续的0的个数比24!的末尾连续的0的个数“一下子”多了2个，从4跨越过5直接到了6.
按照这样的分析，不难知道m还不会是多少。

“n!的末尾有m个连续的0",请问：不能取得的m会不会是连续2个正整数、连续3个、连续4个……的正整数？
会的，可以算出n=5 ³ 、5 ⁴……的倍数的n!去看，
比如：
125！末尾连续的0的个数=【125/5】+【125/25】+【125/125】=25+5+1=31；
而124！末尾连续的0的个数=【124/5】+【124/25】+【124/125】=24+4+0=28.
可见，m≠29、30.

前面已经讲了一，“n！的末尾有多少个连续的0？”的求法。
现在来看看：
3，”已知n！右边有m个0，求n“的问题。
比如：已知n！的末尾有连续的100个0，求n.

对五楼的一点点小想法…

5楼问题：已知n！的末尾有连续的100个0，求n.
解：
一，把[n/5]+[n/5² ]+[n/5³ ]+……=100转化为解下面方程：
n/5+n/5²+n/5³+……=100
即：n[1/5/(1-1/5]=100,得n=400.这是n的估值；
二，求出400！的末尾连续的0的个数为：
【400/5】+【400/25】+【400/125】
=80+16+3
=99；
三，因为题目给的数据100比99大1，所以，所求的n比估值400多1个5 。
所以求得n=405、406、407、408、409。
小结：因为“求n！右边有多少个0”有一成法，即：[n/5]+[n/5² ]+[n/5³ ]+……
我们可从解：[n/5]+[n/5^2]+[n/5^3]+……+[n/5^k]=m 入手。
可先转化为解 n/5+n/5²+n/5³+……=m 。
利用“无穷递繽等比数列”求和公式，解得：n=4 m.
以后 ，解此类问题，不必重复过程，可取n=4m作为估值，然后修正即可。
新题：已知n！的末尾有连续的502个0，求n的最小值，

7楼问题：已知n！的末尾有连续的502个0，求n的最小值，
解：先算估值：4×502=2008；
而[2008/5]+[2008/25]+[2008/125]+[2008/625]=401+80+16+3=500.
因为题目给的数据502比500大2，所以，所求的数比估值2008多2个因数5 。多1个因数5 的最小的是2010，多2个因数5的最小的是2015。
再来一道：已知n！的末尾有连续的673个0，求n的最大值，

8楼问题：已知n！的末尾有连续的673个0，求n的最大值，
解：
一，先算估值：4×673=2692。
二，而[2692/5]+[2692/25]+[2692/125]+[2692/625]=538+107+21+4=670。
因为题目给的673比670大3，所以，所求的数比估值2692多3个因数5。
三，比2692多1个因数5时，应该是2695；下一个应该是2700，它是25的倍数，比2695多2个0，也就是比2692正好多3个因数5。
由此可知，比估值2692多3个因数5的，就是2700、2701、2702、2703、2704.
答案：n的最大值是2704.
可以知道，n的最大值的个位数字必是4或9，最小值的个位数字必是0或5 。为什么？

再来一道:求证：n！的末尾不可能有连续的154个0。

9楼
突然想到一个问题：对于5楼的结论若n！末尾有m个零，可取n=4m为估值；但若是给出n为一个代数式，来表示m的范围呢？
比如，2xy！末尾有多少个连续的零？直接用估值的话解得m=xy/2，那样就有可能是小数了，显然不太对……

10楼问题：求证：n！的末尾不可能有连续的154个0。
解：
一，先算估值：4×154=616
二，而[616/5]+[616/25]+[616/125]=123+24+4=151。即616！末尾有连续的151个0.
三，接着往后具体看看：620！末尾有连续的152个0；注意:下一个数是625=5⁴，而625！末尾连续的0的个数，一下子比620！末尾连续的0的个数多了4个，即156个。“跨越”过154。
亦即：n！的末尾不可能有连续的154个0。

如前所说，n≥5时，n！的末尾有连续的一些0。还知道，这连续的0的个数m不能取到一些值，比如5、11，等等。
新问题：求“5！、6！、……、500！中，m不能取得的值的个数”。

13楼问题：求“5！、6！、……、500！中，m不能取得的值的个数”。
解：注意到：n！中每多一个5² ，m就多1个不可取得的数、每多一个5 ³ ，m就又多1个不可取得的数……。
所以，500！时，m不可取得的个数
=【500/25】+【500/125】
=20+4
=24.
请问：这24个值是哪些呢？怎么求得的？

14楼求得“5！、6！、……、500！中，m不能取得的值的个数”是24个。
怎么求出这24个数呢？
只要算出25的倍数及125的倍数的阶乘末尾连续的0的个数，就差不多了。
一，先来看25的倍数
比如，25！末尾连续的0的个数=【25/5】+【25/25】=5+1=6，可知m不可取得5；
又如，50！末尾连续的0的个数=【50/5】+【50/25】=10+2=12，可知m不可取得11;
诸如此类，75、100、150、175、……、450、475，具体的略去；
二，再来看125的倍数
比如，125！末尾连续的0的个数=【125/5】+【125/25】+【125/125】=25+5+1=31，可知m不可取得29、30；
又如，250！末尾连续的0的个数=【250/5】+【250/25】+【250/125】=50+10+2=62，可知m不可取得60、61；
还有375、500。
答案：m不能取得的值是：5、11、17、23、29、30、36、42、48、54、60、61、67、73、79、85、91、92、98、104、110、116、122、123

小结
此前探究了关于“n!的末尾的若干个数字”的第一个问题：n！的末尾连续的0的问题。
具体地说，是如下3个问题：
1，已知n，求n！的末尾有多少个连续的0；
2，已知n！的末尾有m个连续的0，求n；
3，m的取值问题。
现在开始，将要探究关于“n!的末尾的若干个数字”的第二个问题：去掉n！的末尾连续的0后的多位数的有关问题。
记n！为N×10^m,比如11！=39916800=399168×10²，这里的399168就是N，
我们将要探究399168末尾几个数字的有关问题。
能有什么样的问题呢？