可以构造一个函数，设f(x)= (x+1)^m = ∑C(m, i)*x^i , 0≤i≤m
当i不是p-1的倍数时，对x=1~p-1求和∑x^i ≡ 0(mod p)
当 i是p-1的倍数时，对x=1~p求和∑x^i≡-1(mod p)
说明对x=1~p-1求和时，∑(x+1)^m ≡ -∑C(m, j) (mod p)，其中0≤j≤m且p-1整除j
又因为如果f(x)对x=1~p-1 求和
①当p-1不整除m时，∑(x+1)^m = 2^m+3^m+…+p^m ≡ -1(mod p)
则∑C(m, j)≡1(mod p)，这里0≤j≤m且p-1整除j，这时j不可能等于m
又因为C(m, 0)=1，所以这时对所有满足0<k<m且p-1整除k的正整数k求和得到∑C(m, k)≡0 (mod p)
②当p-1整除m时，∑(x+1)^m = 2^m+3^m+…+p^m ≡ 1+1+…+1+0 ≡ -2(mod p)
则∑C(m, j)≡2(mod p)，这里0≤j≤m且p-1整除j
左边去掉C(m, 0)=C(m, m)=1，正好得到∑C(m, k)≡0(mod p)，其中k是所有满足0<k<m且p-1整除k的正整数
当i不是p-1的倍数时，对x=1~p-1求和∑x^i ≡ 0(mod p)
当 i是p-1的倍数时，对x=1~p求和∑x^i≡-1(mod p)
说明对x=1~p-1求和时，∑(x+1)^m ≡ -∑C(m, j) (mod p)，其中0≤j≤m且p-1整除j
又因为如果f(x)对x=1~p-1 求和
①当p-1不整除m时，∑(x+1)^m = 2^m+3^m+…+p^m ≡ -1(mod p)
则∑C(m, j)≡1(mod p)，这里0≤j≤m且p-1整除j，这时j不可能等于m
又因为C(m, 0)=1，所以这时对所有满足0<k<m且p-1整除k的正整数k求和得到∑C(m, k)≡0 (mod p)
②当p-1整除m时，∑(x+1)^m = 2^m+3^m+…+p^m ≡ 1+1+…+1+0 ≡ -2(mod p)
则∑C(m, j)≡2(mod p)，这里0≤j≤m且p-1整除j
左边去掉C(m, 0)=C(m, m)=1，正好得到∑C(m, k)≡0(mod p)，其中k是所有满足0<k<m且p-1整除k的正整数
